目录 / contents 6月1日 概率……………………………………………………………01 6月2日 统计……………………………………………………………29 6月3日 数系的扩充与复数的引入 ……………………………………65 6月4日 算法初步………………………………………………………78 6月5日 推理与证明……………………………………………………105 6月6日 选修部分………………………………………………………118 时间：6 月 1 日 今日心情： 核心考点解读 —— 概 率 随机事件的概率（I ） 古典概型（II） 几何概型（I ） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查 古典概型和几何概型概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查古典概型概率 的计算. 2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，通过互 斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，体现了概率问题的实际应 用状况. 3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线， 考查随机事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查概率的求解，需注意知识 的灵活运用. 1.随机事件的概率 (1)概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在 n 次重复试验下，某事件 A 出现的次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变 .概率是指对于 给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某一个常数 附近，这个常数称为事件 A 发生的概率.频率值随着试验次数的变化而变化，概 率值则是一个常数，当试验次数越多时，频率值越接近于概率值，此时可以把 频率近似地看做概率. (2)互斥事件与对立事件：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，即 两个事件是对立事件，则它们肯定是互斥事件，反过来，当两个事件是互斥事 件时，这两个事件不一定是对立事件. (3)随机事件的概率的性质及其求解方法 性质： 0 �p �1 .若事件的概率为 1，则该事件是必然事件；若事件的概率为 0，则该事件是不可能事件；若事件的概率为 0  p  1 ，则该事件是随机事件. 随机事件概率的求法： (i)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解 概率； (ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而 其对立面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用 “ 正难则 反”的思想. 2.古典概型与几何概型 (1)古典概型：(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ii)每个基本事件出 现的可能性相等. 古典概型的概率计算公式： P( A)  A包含的基本事件的个数 . 基本事件的总数 (2)几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成 比例. 特点：(i)一次实验的基本事件数是无限的；(ii)每个基本事件发生的可能性是相 等的. 几何概型的概率计算公式： P( A)  构成事件的区域长度（面积或体积） A . 试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积） (3)异同点：共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是古典概型有有限个基 本事件，几何概型有无限个基本事件. (4)能够通过枚举的方法将试验的所有结果（基本事件）进行一一罗列，并确定事 件 A 发生所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率计算公式进行求解. 1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到 的 3 点共线的概率为 A． 1 5 B． 2 5 C． 1 2 D． 4 5 【答案】A 【解析】如图，从 O, A, B, C , D 5 个点中任取 3 个有： {O , A, B},{O, A, C},{O, A, D},{O, B, C} ， {O, B, D},{O, C , D},{ A, B, C},{ A, B, D} 3 点共线只有 { A, O, C} 与 {B, O , D} ， { A, C , D},{B, C , D} 共 10 种不同取法， 共 2 种情况， 2 1  由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为 10 5 . 故选 A. 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 2．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或游泳， 60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数 的比例是 A．62% B．56% C．46% D．42% 【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件 A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 B ，则“该中学学生喜欢足球 B， 或游泳”为事件 A  B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A � 则 P( A)  0.6 ， P ( B )  0.82 ， 所以 P  A  B   0.96 ， P( A � B )  P( A)  P( B)  P( A  B )  0.6  0.82  0.96  0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% . 故选：C. 【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 3．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔 子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A． 2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 【答案】B 【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式 即可求解． 【解析】设其中做过测试的 3 只兔子为 a, b, c ，剩余的 2 只为 A, B ， 则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有 {a, b, c},{a, b, A},{a, b, B},{a, c, A},{a, c, B},{a, A, B},{b, c, A} ， {b, c, B},{b, A, B},{c, A, B} ，共 10 种． 其中恰有 2 只做过测试的取法有 {a, b, A},{a, b, B},{a, c, A},{a, c, B}, {b, c, A},{b, c, B} ，共 6 种， 所以恰有 2 只做过测试的概率为 6 3  ，故选 B． 10 5 【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用 列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的 避免出错． 4．（2018 新课标全国Ⅱ文科）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是 女同学的概率为 A． 0.6 B． 0.5 C． 0.4 D． 0.3 【答案】D 【解析】设 2 名男同学为 A , A ，3 名女同学为 B , B , B ， 1 2 1 2 3 从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 A 1 A 2 , A 1 B 1 , A 1 B 2 , A 1 B3 , A 2 B 1 , A 2 B 2 , A 2 B 3 , B 1 B 2 , B 1 B3 , B 2 B 3 是女同学的情况共有 ，共 10 种可能，选中的 2 人都 ，共 3 种可能， B 1 B 2 , B1 B 3 , B 2 B 3 3 则选中的 2 人都是女同学的概率为 P= 10 =0.3 . 故选 D. 【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件 A ；第二步，分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m ；第三 m 步，利用公式 P( A)= n 求出事件 A 的概率. 5．【2020 年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的 概率是_____. 【答案】 1 9 【解析】根据题意可得基本事件数总为 6 �6  36 个. 点数和为 5 的基本事件有  1, 4  ，  4,1 ，  2,3 ，  3, 2  共 4 个. ∴出现向上的点数和为 5 的概率为 P 4 1  36 9 . 1 故答案为： 9 . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 1 1 6.【2020 年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 2 和 3 ．假定两球是否落入盒子互不影响， 则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 1 6 2 3 【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 1 , ， 2 3 且两球是否落入盒子互不影响， 1 1 1 �  3 6， 所以甲、乙都落入盒子 的 概率为 2 1 1 1 (1  ) �(1  )  甲、乙两球都不落入盒子的概率为 2 3 3， 2 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 3 . 1 2 故答案为： 6 ； 3 . 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 7．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】 0.98 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为 10 �0.97  20 �0.98  10 �0.99  39.2 ，其中高 铁个数为 10  20  10  40 ，所以该站所有高铁平均正点率约为 39.2  0.98 ． 40 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度 不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车 总数的比值． 8．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品 (单位：件)按