1.4 充分条件与必要条件培优练习 （共 22 题） 一、选择题（共 12 题） 1. 设 p ： x< 3 ， q ： −1< x <3 ，则 A．充要条件 C : x 2+ y 2=2 ，直线 l: x − y +m=0 ，则“ l 与 C C．充要条件 3. 无限小数是无理数的 D．既不充分也不必要条件 () B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 4. “ x> 3 ”是“ x> 1 ”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 () B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 M ={ 2, m } ， N= {1,2,3 } ，则“ m=3 ”是“ M ⊆ N ”的 () A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 设 相交”是“ m<2 ”的 B．必要不充分条件 A．充分非必要条件 C．充要条件 () D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 5. 已知集合 成立的 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 2. 已知圆 p 是 q x , y ∈ R ，则“ x> 1 ”是“ x> 0 ”的 () A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 () C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 p:∣ x −2 ∣≤ 3 ， q :0 ≤ x ≤ 5 ，则 7. A．充分不必要条件 C．充要条件 p 是 q 的 () B．必要不充分条件 D．既非充分条件也非必要条件 π 1 α ∈ R ，则“ α = +2 k π ， k ∈ Z ”是“ cos α = ”的 () 3 2 8. 设 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 a ∈ R ，则“ a=1 ”是“ ∣a ∣=1 ”的 () 9. 若 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 x ∈ R ，则“ ∣ x − 1∣>1 ”是“ x> 3 ”的 () 10. 设 A．充分不必要条件 C．充要条件 11. 已知 B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 α : “ a=2 ”； β ：“直线 x − y=0 与圆 2 2 x + ( y − a ) =2 相切，则 α () A．充分非必要条件 C．充要条件 12. 对任意实数 B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 a ， b ， c ，在下列命题中为真命题的是 () A．“ ac=bc ”是“ a=b ”的充分条件 B．“ ac=bc ”是“ a=b ”的必要条件 C．“ ac >bc ”是“ a> b ”的充分条件 D．“ ac >bc ”是“ a> b ”的必要条件 是 β 的 二、填空题（共 6 题） A ⇒ B ，则 B A ， B ，若 13. 条件 的 A （选填“充分”、“必要”或“充要”）． 条件是 14. 用符号“ ⇒ ， ⇐ ， ⇔ “表示下列事件的推出关系： （ 1 ） α ：实数 x 2 x =4 ， β ： x=2 ， α 满足 （ 2 ） α ： x< 2 ， β ： x< 3 ， α β ； （ 3 ） α ： A ⊇B ， β ： A ∪B= A ， α 15. “ x> 2 ”的一个充分非必要条件是 16. “ 1< x< 2 ”是“ x< 2 ”成立的 β ． ． 条件． 17. 写出“ x< 0 ”的一个充分非必要条件 18. 设 β ； α : x >2 ， β : x >3 ，则 α ． β 是 的 条件． 三、解答题（共 4 题） 19. 试判断“一个自然数能被 20. 设 5 整除”是“这个自然数的末位数是 5 ”的什么条件？说明理由． 2 α : a + a −6=0 ， β : mb+1=0 ，若 21. 在下列各题中， α 是 β β 是 α 的充分条件，求 的什么条件（指充分非必要、必要非充分、充要、既非充分也非必要条 件）？ (1) α : x=1 或 x=2 ， β : x −1=❑√ x −1 ； (2) α ：在 (3) α : m>0 ， β ：方程 △ ABC m 的值． 中， ∠ A ≠60 ∘ ， β :sin A ≠ ❑ 2 x + x −m=0 有实数根． √3 2 ． 22. 下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1) p ：三角形为等腰三角形， q ：三角形存在两角相等； (2) p ： ⊙O 内两条弦相等， q ： ⊙ O 内两条弦所对的圆周角相等； (3) p ： A ∩B 为空集， q ： A 与 B 之一为空集． 答案解析部分 一、选择题（共 12 题） 1. 【答案】C 【解析】 q p ，反过来不能，故选 C． 能推出 2. 【答案】A 相交” ⇔ ∣m∣ ❑ < √ 2 ，解得 −2<m<2 ． ❑ √2 【解析】“ l 与 C 所以“ l C 相交”是“ m<2 ”的充分不必要条件． 与 3. 【答案】B 4. 【答案】A 【解析】结合题意可知由 x> 3 可以推出 x> 1 ，但是当 x> 3 ”是“ x> 1 ”的充分不必要条件，故选 A． 5. 【答案】A 6. 【答案】A 【解析】 x> 1⇒ x >0 ，但 x> 0 ⇏ x>1 ， 因此是充分不必要条件． 7. 【答案】B 8. 【答案】A π 【解析】若“ α = 3 +2 k π ， k ∈ Z ”， x> 1 时并不能保证 x> 3 ，故“ 则 cos α = 1 2 ， 1 若“ cos α = 2 ”， 则 π α = +2 k π 3 或 π α =− +2 k π ( k ∈ Z ) ， 3 π 1 所以“ α = 3 +2 k π ， k ∈ Z ”是“ cos α = 2 ”的充分不必要条件． 9. 【答案】A 10. 【答案】B 【解析】因为 ∣ x − 1∣>1 ⇔ x ∈ ( −∞ , 0 ) ∪ ( 2,+ ∞ ) ⊋ ( 3,+ ∞ ) ， 所以选 B． 11. 【答案】A x − y=0 与圆 【解析】若直线 则 2 2 x + ( y − a ) =2 ∣a∣ ❑ = √ 2 ， a=±2 ． ❑ √2 因此 α 是 β A B C D × 当 c=0 时 , ac=bc ⇏ a=b √ 根据等式的性质有 a=b⇒ac=bc × 当 c <0 时 , ac >bc ⇏ a>b × 当 c ≤ 0 时 , a>b ⇏ ac >bc 的充分非必要条件． 选 A． 12. 【答案】B 【解析】 二、填空题（共 6 题） 相切， 13. 【答案】充分 14. 【答案】 ⇐ ； ⇐ ； ⇔ 15. 【答案】 x ≥ 4 （答案不唯一） 16. 【答案】充分不必要 17. 【答案】略 18. 【答案】必要非充分 三、解答题（共 4 题） 19. 【答案】必要非充分条件，理由如下： 当一个自然数的末位数是 而当一个自然数的末位数是 故“一个自然数能被 20. 【答案】令 5 时，这个自然数能被 5 整除； 0 时，这个自然数也能被 5 整除，如 10 能被 5 整除． 5 整除”是“这个自然数的末位数，是 5 ”的必要非充分条件． 2 A= { a ∣ a +a − 6=0 ¿ ¿ ， B={ b ∣ mb+1=0 ¿ ¿ ，则 因为 β⇒α ， 所以 B⊆ A ， 所以 B=∅ 或 {− 3 } 或 { 2 } ． ①当 B=∅ 时， m=0 ； A= {− 3,2 } ． ②当 1 B={ −3 } 时， m= ； 3 ③当 B={ 2 } 1 时， m=− 2 ． 1 1 综上所述， m=0 或 3 或 − 2 ． 21. 【答案】 x=1 或 (1) x=2 ⇒ x −1=❑√ x −1 ； x=2 ， x −1=❑√ x −1 ⇒ x=1 或 α 所以 所以 (3) β △ ABC (2) 在 在 是 △ ABC α 是 的充要条件． ∘ 中， ∠ A ≠60 ⇒ sin A ≠ 中， sin A ≠ β 2 （如 ❑ √3 A=120 ∘ 时， sin A= ）； 2 ❑ √3 ⇒ A ≠ 60∘ 2 2 x + x −m=0 的 方程 2 x + x −m=0 有实根，即 所以 α β √3 ， 的必要非充分条件． m>0 ⇒ 方程 是 ❑ Δ=1+4 m≥ 0 ⇒m>0 ， 的充分非必要条件． 22. 【答案】 (1) p 是 q (2) p 不是 q 的充要条件． (3) p 不是 q 的充要条件． 的充要条件． Δ=1+4 m> 0 ，即方程有实根；