3.3 抛物线—小节练习 一、选择题（共 12 题） 2 2 y =16 x 1. 已知抛物线 OAFB 近线恰为矩形 C: 的焦点与双曲线 OA ， OB 的边 2 x y − 2 =1 ( a>0, b> 0 ) 2 a b 所在直线（ O F 的焦点 重合， C 为坐标原点），则 C 的渐 的方程是 () 2 A． 2 y=2 x 2. 拋物线 y=− A． 3. 已知抛物线 A． 段 AB A． 2 的准线方程为 B． x 2=2 ay 的准线方程为 是抛物线 y=− 的中点到 3 4 轴的距离为 y2 =1 m C． x= 2 1 2 y=4 ，则实数 a 的值为 −8 C． 2 D． x y − =1 8 8 D． x=− 1 4 () D． − 1 8 是该抛物线上的两点， ∣ AF ∣+∣ BF ∣=3 ，则线 () B． 1 x2 − 2 x y − =1 4 12 的焦点， A ， B y =x y 1 8 1 8 2 2 C． () 1 4 B． 5. 已知 双曲 线 2 x y − =1 32 32 B． 8 F 4. 已知 2 x y − =1 12 4 与 抛物 线 C． y 2=8 x 5 4 的一 个交 点为 D． 7 4 P ， F 为 抛物 线的 焦点 ，若 ∣ PF ∣=5 ，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A． x ± 2 y=0 B． 2 x ± y=0 C． ❑ √ 3 x ± y =0 D． x ± ❑√ 3 y=0 A 6. 已知 y 为抛物线 轴的距离为 A． C ： y 2=2 px ( p>0 ) 9 ，则 2 p=¿ B． 2 y =12 x 7. 若抛物线 上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 () 3 C． F ，点 的焦点为 P 6 D． 9 3 ，则 在此抛物线上且横坐标为 () A． 4 B． 2 y =8 x 8. 曲线 A． x=4 B． 9. 已知抛物线的焦点为 A． 2 y =2 ax y=4 x 10. 抛物线 A． 2 C． 8 D． 10 C． x=−2 D． x=− 4 () x=2 F ( a , 0 ) （ a< 0 ），则抛物线的标准方程是 () B． 2 y =4 ax 的准线方程为 y=− 1 B． 2 2 C． y =−2 ax D． y =− 4 ax C． y= 1 16 D． y=− () y=1 1 16 4 y 2+ x=0 的焦点坐标和准线方程分别是 () 11. 抛物线 A． F ( 1,0 ) ， x=−1 C． F 12. 已知抛物线 A． 6 的准线方程是 ( 161 , 0) 2 x =ay 1 二、填空题（共 6 题） ， x=− 1 16 B． F ( −1,0 ) ， x=1 D． F − 的焦点恰好为双曲线 B． ±4 12 ，到 ( 1 ,0 16 ) ， x= 1 16 2 2 y − x =2 的一个焦点，则 a=¿ C． ±8 D． 16 () ∣ PF ∣ 等于 F 13. 设 2 y =4 x 为抛物线 的焦点， ⃗ FA+ ⃗ FB+⃗ FC= ⃗0 ，则 ∣ ⃗ FA ∣+∣ ⃗ FB∣+∣⃗ FC ∣=¿ 2 14. 抛物线 y=x 15. 抛物线 y 2=− 4 x 16. 抛物线 y =6 x 17. 设 的焦点坐标是 2 B ， C 为该抛物线上三点，若 ． ． 的准线方程为 的准线方程为 a ≠ 0 ， a ∈ R ，则抛物线 ． ． y=4 a x 2 的焦点坐标为 P (− 1,3 ) ，则抛物线的标准方程为 18. 若拋物线过点 A ， ． ． 三、解答题（共 4 题） 19. 已知抛物线 C (1) 求该抛物线 (2) 若 M x=−1 ． 的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为 C 的方程． 是拋物线 C 上的一点，已知 M 到抛物线 C 的焦点的距离为 5 ，求 M 点的坐标． 20. 抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点 21. 定长为 y 22. 设 3 的线段 AB 端点 A ， B 轴的距离的最小值，并求出此时 P 是曲线 (1) 求点 (2) 若 2 y =4 x P 到点 AB P ( −2,2 ❑√ 2 ) ，求抛物线的方程． 在抛物线 2 y =x 上移动，求 AB 的中点 的中点的坐标． 上的一个动点． A ( −1,1 ) 的距离与点 P 到直线 B ( 3,2 ) ，求 ∣ PB∣+∣ PF ∣ 的最小值． x=−1 的距离之和的最小值； M 到 答案解析部分 一、选择题（共 12 题） 1. 【答案】D C 【解析】由 的渐近线恰为矩形 OAFB 的边 OA ， OB 可得双曲线的两条渐近线垂直， 由渐近线方程 y=± b x a ， 2 b 可得 − 2 =−1 ，即 a=b ， a 又抛物线 即有 2 y =16 x 的焦点为 ( 4,0 ) ， 2 2 a +b =16 ，解得 a=b=2 ❑√ 2 ， 2 2 x y − =1 ． 8 8 则双曲线的方程为 2. 【答案】B 3. 【答案】C 【解析】因为抛物线 所以 2 x =2 ay 的准线方程为 y=4 ， a − =4 ，解得 a=−8 ． 2 4. 【答案】C 5. 【答案】C 【解析】因为点 所以 P 在抛物线 P ( x0 , y 0 ) 满足 2 y =8 x p x 0+ =5 ，得 2 上， ∣ PF ∣=5 ， p x 0=5 − =5− 2=3 ， 2 所在直线， y 20=8 x 0=24 ，得 因此 P ( 3,± 2 ❑√ 6 ) 所以点 9− 可得 在双曲线 x2 − 2 y =1 上， m 24 =1 ，解之得 m=3 ， m x2 − 所以双曲线标准方程为 得 y 0=± 2 ❑√ 6 ， 2 y =1 ， 3 a=1 ， b=❑√3 ，渐近线方程为 y=± bx a ，即 y=± ❑√3 x ． 6. 【答案】C 【解析】 到 y A 为抛物线 轴的距离为 C ： y 2=2 px ( p>0 ) 上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 9 ， 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， p 故有： 9+ 2 =12⇒ p=6 ． 7. 【答案】B 8. 【答案】C 9. 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为 所以抛物线的标准方程为 F ( a , 0 ) （ a< 0 ）， 2 y =4 ax ． 10. 【答案】D 【解析】将 y=4 x 2 化为 2 x= 1 y ，则该抛物线的准线方程为 4 y=− 1 16 ． 12 ， 11. 【答案】D 2 4 y + x=0 化成标准方程得 【解析】 y 2=− 1 x ， 4 x= 1 16 ． 1 4 ， 所以 2 p= 所以 p 1 = 2 16 ， 又开口向左， 所以焦点坐标为 (− 161 ,0) ，准线方程为 12. 【答案】C 【解析】抛物线 x 2=ay (0, a4 ) 的焦点为 ， 2 2 y − x =2 的焦点为 ( 0, ±2 ) ， 双曲线 所以 a =± 2 ， 4 所以 a=± 8 ． 二、填空题（共 6 题） 13. 【答案】 6 【解析】抛物线焦点坐标 F ( 1,0 ) ， 准 线 方 程 ： x=−1 ， 设 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2) ， C ( x3 , y3 ) ， 因为 ⃗ FA + ⃗ FB+⃗ FC= ⃗0 ，所以点 因为 ∣ FA ∣=x 1 − ( − 1 )=x 1+ 1 ， ∣ FB∣=x 2 − ( −1 )=x 2+1 ， ∣ FC ∣=x 3 − (− 1 )=x 3 +1 ， F 是 △ ABC 重心，所以 x 1+ x 2 + x 3=3 ， ∣ FA ∣+∣ FB ∣+∣ FC ∣=x 1+1+ x 2 +1+ x 3+1=( x 1+ x 2 + x 3 ) +3=3+ 3=6 ． 所以 14. 【答案】 1 (0, ) 4 15. 【答案】 1 y 2=− 4 x 【解析】抛物线 2 y =− 4 x 所以抛物线 16. 【答案】 x=− 17. 【答案】 (0, ± x x=1 ． 3 2 1 ) 16 a 2 x= (0, ± 161a ) 所以焦点坐标为 2 y =− 9 x 18. 【答案】 【解析】由 P (− 1,3 ) y 4a ． p= 1 6 ． 1 x 2= y 3 在第二象限，得抛物线的开口向上或开口向左， x 2=2 py 设其标准方程为 P (− 1,3 ) 或 或 的坐标代入得 或 p= 9 2 ， p 轴上，且开口向左， 2 p=4 ， 2 =1 ， p 1 p 1 = =− a> 0 时， a< 0 时， ；当 2 16 a 2 16 a ， 所以当 解得 的准线方程为 y=4 a x 2 ，所以 【解析】因为 将 的焦点在 y 2=−2 px （ p>0 ）． ( −1 )2=2 p ×3 或 32=− 2 p × ( − 1 ) ， 1 x 2= y 3 因此所求拋物线的标准方程为 或 2 y =− 9 x ． 三、解答题（共 4 题） 19. 【答案】 (1) 2 y =4 x ． (2) M ( 4,− 4 ) 或 ( 4,4 ) ． 20. 【答案】抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，需分类讨论： （ 1 ）对称轴是 代入点 所以 x 2 y =2 px ， 轴上时，设抛物线的方程为 2 x =2 py ， 2 y =− 4 x ． y 轴，即焦点在 y P ( −2