考点 04 导数 导数是高考每年的必考内容，导数一直是高考的热点和难点，客观题与函数结合考查函数的基本 性质为主，解答题常作为压轴题进行综合考查． 一、导数的概念及运算 1.函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义：函数 y＝f(x)在点 x0 的瞬时变化率__＝l，通常称为 f(x)在点 x0 处的导数，并记作 f′(x0)， 即 ＝f′(x0). (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的 斜率等于 f′(x0). 2.函数 y＝f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a， b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数， 我们把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x)(或 yx′、y′). 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′. 二、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 f′(x0)＝0 条件 x0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0 x0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0 为极大值点 x0 为极小值点 图象 3.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)求可导函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ① 求 f(x)在(a，b)内的极值； ② 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 导数的概念及运算 【例 1-1】（2020·全国专题练习（文））设函数 k=（ ） f  x   x  x  k   x  2k   x  3k  ，且 f�  0  6 ，则 A．0 B．-1 C．3 D．-6 【答案】B 【解析】Q f  x   x  x  k   x  2k   x  3k   x  x  3k   x  k   x  2k     x 2  3kx x 2  3kx  2k 2       f�  x    2 x  3k  x 2  3kx  2k 2  x 2  3kx  2 x  3k  f� 2k 2  6k 3  6  0   3k � 解得 k  1 ， . f  x 【例 1-2】（2019·陕西新城·西安中学高三月考（理））已知函数 f  x   2 xf �  1  ln x A． e ，则 f�  1 的导函数 f�  x ＝(　　) B． 1 D． e C．1 【答案】B 【解析】对函数进行求导，得 f ' ( x )  2 f ' (1)  1 x 把 x  1 代入得， f ' (1)  2 f ' (1)  1 直接可求得 f ' (1)  1 ． 【例 1-3】（2018·湖南宁乡一中高三月考）曲线 A． y  2 x  1 【答案】A B． y  3 x  2 C． y x x  2 在点  1, 1 处的切线方程为 y  2x  3 D． y  x2 ,且满足 【解析】 可得曲线 所以曲线 即 y 2 x y'   ( x  2) 2 ， x  2 的导数为 y 2 x  2 在点  1, 1 处的切线斜率为 k  y ' |x 1  2 ， y x x  2 在点  1, 1 处的切线方程为 y  1  2( x  1) ， y  2 x  1 ，故选 A. 【例 1-4】（2019·山东师范大学附中高三二模（理））函数 f  x   ln  2 x  1 在点  1, f  1  处的切线方 程为( ) A． C． y  x 1 B． y  2x  2 D． y  2 x 1 yx 【答案】C 【解析】Q ∴ ∴ f�  x  ， 2 2x 1 ， f�  1  2 又Q f  x   ln  2 x  1 ， f  1  0 ，  切线方程是： y  2 x  2 . 【例 1-5】（2020·山东高三其他）已知函数 x1  x2 的最大值为（ ） �x ln x, x  0 f  x  � �x  1, x �0 ，若 x1 �x2 且 f  x1   f  x2  ，则 A． 2 2 C． 2 B． 2 D． 1 【答案】B 【解析】如下图所示： 设点 A 的横坐标为 x1 ，过点 A 作 y 轴的垂线交函数 y  f  x  于另一点 B ，设点 B 的横坐标为 x2 ，并过点 B 作直线 y  x  1 的平行线 l ，设点 A 到直线 l 的距离为 d ， x1  x2  l 由图形可知，当直线 与曲线 当 x  0 时， 此时， d f  x   x ln x 1 0 1 2  2 y  x ln x ，令 相切时， d 取最大值， f�  x   ln x  1  1 ， x1  x2 max 2d ， ，得 x  1 ，切点坐标为  1, 0  ，  2 � 2  2 ，故选：B. 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则 .求导时，不但要重视求导法则的应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性， 避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然 后“由外及内”逐层求导. 2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写 方程，若已知点不是切点，则需设出切点. 3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. 利用导数研究函数的极值、最值 【例 2-1】（2018·全国丹东·高三三模（理））设 f ( x)  1 2 x  x  cos(1  x ) ，则函数 f ( x) （ 2 A．仅有一个极小值 B．仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 【答案】A 【解析】 设 即 且 1 2 x  x  cos(1  x ) � ，得 f ( x)  x  1  sin(1  x) . 2 g ( x )  x  1  sin(1  x) g ( x) 所以当 当 f ( x)  为增函数，且 ，则 g (1)  0 g �( x)  1  cos(1  x) �0 . . x �(�,1), g ( x)  0, f �( x)  0 ,则 f ( x) x �(1, �), g ( x)  0, f �( x )  0 ,则 f ( x) f� (1)  0 所以函数 . f ( x) 仅有一个极小值 f (1) . 单调递减； 单调递增， ） 【例 2-2】（2020·安徽金安·六安一中高二期中（理））已知函数 的底数），则 f ( x) f  x   2ef �  e  lnx  x e （e 是自然对数 的极大值为（ ） A．2e-1 1 B． e C．1 D．2ln2  【答案】D 2ef �(e) 1 2ef �(e) 1 � f ( x)   f (e )   【解析】 x e ，则 e e， � x 1 2 1 f  x   2lnx  f �( x)   解得 f′（e）＝ e ， e ，故 x e， 令 令 f �( x )  2 1  x e ＞0，解得：0＜x＜2e，则 f（x）在（0，2e）上单调递增， f �( x )  2 1  x e ＜0，解得：x＞2e，则 f(x)在（2e，+∞）上单调递减， ∴x＝2e 时，f（x）取得极大值 2ln2，故选 D． 1 x x 1 g  x    ln f x  e   ， 【例 2-3】（2020·安徽庐阳·合肥一中高三其他（文））已知函数 2 2 ，若 f  a  g  b A． ln 2  成立，则 b  a 的最小值为（ 1 2 B． ln 2  1 2 ） C． 1  ln 2 D． 1  ln 2 【答案】C 【解析】设 y  e a 1 ，则 a  1  ln