2021 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（每小题 5 分）. 1．若复数 z＝ （m∈R），且|z|＝ A．±1 B． ，则 m＝（　　） C． D．±2 2．已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|x∈N}，则集合 A∩B 的元素个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．5 3．若 lgtanα＝1，log3tanβ＝2，则 tan（α﹣β）＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 4．为庆祝建党 100 周年，某校组织了一场以“不忘初心，牢记使命”为主题的演讲比赛，该 校高一年级某班准备从 7 名男生，5 名女生中任选 2 人参加该校组织的演讲比赛，则参 赛的 2 人中至少有 1 名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 5．若函数 f（x）＝3x﹣ ，则“a＞1”是“f（a）＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在三棱锥 P﹣ABC 中，D 为 BC 的中点，PA⊥底面 ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝2，若 PD 与底面 ABC 所成角为 45°，则三棱锥 P﹣ABC 的体积为（　　） A． B． C．4 D． 7．若正整数 N 除以正整数 m 得到的余数为 n，则记为 N≡n（modm），例如 30≡6（mod 8），如图所示的程序框图的算法源于我国古代的《中国剩余定理》．执行该程序框图， 则输出的 n＝（　　） A．109 B．121 8．已知函数 f（x）＝4sin（2x﹣ C．107 D．124 ）+1 的定义域是[0，m]，值域为[﹣1，5]，则 m 的最大 值是（　　） A． B． C． D． 9．某冷饮店的日销售额 y（单位：元）与当天的最高气温 x（单位：℃，20≤x≤40）的关 系式为 y＝ A．907 元 x2﹣ x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为（　　） B．910 元 C．915 元 D．920 元 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的半径是（　　） A． B．2 C． 11．已知抛物线 M：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 D．2 的直线 l 与抛物线 M 交于 A，B 两点（点 A 在第二象限），则 A． B． ＝（　　） C． D． 12．已知函数 f（x）＝|x2+mx|（m＞0）．当 a∈（1，4）时，关于 x 的方程 f（x）﹣a|x﹣1| ＝0 恰有不同的实根，则 m 的取值范围是（　　） A．（0，2] B．（1，3] C．（0，3] D．（1，4] 二、填空题（每小题 5 分）. 13．已知向量 ＝（1，x）， ＝（x，4），则当| |＝2 时，| |＝　 14．设 x，y 满足约束条件 　． ，则 z＝x+y 的最大值是　 　． 15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．下列各组条件中使得△ABC 有 两解的是　 　.（填入所有符合的条件的序号） ①a＝2 ，b＝4，cosA＝﹣ ； ②a＝2 ，b＝8，cosA＝ ③a＝ ，b＝4，A＝ ； ④a＝2 ，b＝4，A＝ ． 16．已知双曲线 C： ； ＝1（a＞0，b＞0）虚轴的一个顶点为 D，直线 x＝2a 与 C 交 于 A，B 两点，若△ABD 的垂心在 C 的一条渐近线上，则 C 的离心率为　 　． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生 根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝45°，M，N 分别是棱 BC，PC 的中点，且 AB＝AC＝PA． （1）证明：平面 AMN⊥平面 PAD． （2）求平面 AMN 与平面 PAB 所成二面角的正弦值． 18．某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本为 4 元，售价为 6 元．如果当天卖不完，剩下 的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了 60 天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表： 日需求量 20 25 30 35 40 45 50 5 5 10 15 10 10 5 杯数 天数 以这 60 天记录中各需求量的频率作为各需求量发生的概率． （1）若奶茶店一天准备了 35 杯这款新品奶茶，用 ξ 表示当天销售这款新品奶茶的利润 （单位：元），求 ξ 的分布列和数学期望； （2）假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶杯数都是 5 的倍数，有顾客建议店主每天准 备 40 这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由． 19．已知等比数列{an}的第 2 项和第 5 项分别为 2 和 16，数列{2n+3}的前 n 项和为 Sn． （1）求 an，Sn； （2）求数列{an•（Sn+2）}的前 n 项和 Tn． 20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的长轴长为 4，离心率为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点， + ＝2 ，若| |＝1，求 △AOB 面积的最大值． 21．已知函数 f（x）＝alnx+x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a＝1 时，证明：xf（x）＜ex． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做 的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 数方程为 （t 为参数），直线 l2 的参 （s 为参数），直线 l1 与 l2 的交点为 P．以坐标原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）＝1． （1）求点 P 的轨迹 C 的普通方程； （2）若曲线 C1 与曲线 C 相交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为（1，0），求 的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+2|﹣|x﹣1|． （1）求不等式 f（x）≥x+1 的解集． （2）若函数 f（x）的最大值为 m，设 a＞0，b＞0，且 a+b＝m，证明： ≥ ． 参考答案 一、选择题（每小题 5 分）. 1．若复数 z＝ （m∈R），且|z|＝ A．±1 解：∵z＝ ，则 m＝（　　） B． C． ＝ D．±2 ， ＝ ∴ ，即 m＝±2． 故选：D． 2．已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|x∈N}，则集合 A∩B 的元素个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．5 解：∵A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|x∈N}， ∴A∩B＝{0，1，2，3，4，5}， ∴集合 A∩B 的元素个数是 6． 故选：A． 3．若 lgtanα＝1，log3tanβ＝2，则 tan（α﹣β）＝（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 解：因为若 lgtanα＝1，log3tanβ＝2， 所以 tanα＝10，tanβ＝9， 则 tan（α﹣β）＝ ＝ ． 故选：D． 4．为庆祝建党 100 周年，某校组织了一场以“不忘初心，牢记使命”为主题的演讲比赛，该 校高一年级某班准备从 7 名男生，5 名女生中任选 2 人参加该校组织的演讲比赛，则参 赛的 2 人中至少有 1 名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 解：由题意可知从 12 名学生中任选 2 人的情况有 故所求概率 P＝1﹣ ＝ ＝66 种， ， 故选：C． 5．若函数 f（x）＝3x﹣ ，则“a＞1”是“f（a）＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当 x＜0 时，f（x）＝3x﹣ 为增函数，且 f（x）＞0， 当 x＞0 时，f（x）＝3x﹣ 为增函数，且 f（1）＝0， ∴a＞1⇒f（a）＞0，但 f（a）＞0⇔a＞1 或 a＜0， 故 a＞1 是 f（a）＞0 的充分不必要条件， 故选：A． 6．在三棱锥 P﹣ABC 中，D 为 BC 的中点，PA⊥底面 ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝2，若 PD 与底面 ABC 所成角为 45°，则三棱锥 P﹣ABC 的体积为（　　） A． B． C．4 D． 解：如图， ∵PA⊥底面 ABC，PD 与底面 ABC 所成角为 45°， ∴∠PDA＝45°， 又 AB⊥AC，AB＝4，AC＝2，∴BC＝ ∴PA＝AD＝ 故 故选：B． ， ， ． 7．若正整数 N 除以正整数 m 得到的余数为 n，则记为 N≡n（modm），例如 30≡6（mod 8），如图所示的程序框图的算法源于我国古代的《中国剩余定理》．执行该程序框图， 则输出的 n＝（　　） A．109 B．121 C．107 D．124 解：由已知中的程序框图可知： n＝103，103≡3（mod 4）； n＝106，106≡2（mod 4）； n＝109，109≡1（mod 4），109≡4（mod 7）； n＝112，112≡0（mod 4）； n＝115，115≡3（mod 4）； n＝118，118≡2（mod 4）； n＝121，121≡1（mod 4），121≡2（mod 7）， 故输出 n＝121． 故选：B． 8．已知函数 f（x）＝4sin（2x﹣ ）+1 的定义域是[0，m]，值域为[﹣1，5]，则 m 的最大 值是（　　） A． B． C． D． 解：∵x∈[0，m]， ， ∴ ∵f（x）的值域为[﹣1，5]， ，解得 ∴ ∴m 的最大值为 ， ． 故选：A． 9．某冷饮店的日销售额 y（单位：元）与当天的最高气温 x（单位：℃，20≤x≤40）的关 系式为 y＝ x2﹣ A．907 元 B．910 元 解：令 f（x）＝ 则 f′（x）＝ x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为（　　） x﹣ x2﹣ C．915 元 D．920 元 x3，（20≤x≤40）， ＝x（ ﹣ ），令 f′（x）＝0，解得 x＝38． 当 20≤x＜38 时，f′（x）＞0，此时函数 f（x）单调递增；当 38＜x≤40 时，f′（x）＜0， 此时函数 f（x）单调递减． ∴x＝38 时，函数 f（x）取得极大值即最大值， 最大