专题 02 复数 规定 虚数单位 i 2  1 ：实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律 仍成立。 形如 概念 复数 a  bi (a, b �R) b �0 叫做复数的实部， a  0, b �0 b 叫做复数的虚部， 的时叫纯虚数。 实部相等，虚部互为相反数，即 z  a  bi ，则 z  a  bi 共轭复数 数 (a  bi) �(c  di )  ( a �c)  (b �d )i, ( a, b, c, d �R) 加减法 运算 时叫做虚数， a a  bi  c  di (a, b, c, d �R ) � a  c, b  d 复数相等 复 的数叫做复数， (a  bi )(c  di )  ( ac  bd )  (bc  bd )  (bc  ad )i, ( a, b, c, d �R ) 乘法 ac  bd bc  da  i (c  di �0, a, b, c, d �R) c2  d 2 c2  d 2 ——一对厅 复数复平面内的点 z  a  bi ����� Z (a, b) ( a  bi ) �(c  di)  除法 几何 uuur uuur ——一对厅 ����� 向量向量的模叫做复数的模， OZ OZ 意义 z  a 2  b2 大多数复数问题，主要是把复数化成标准的 z  a  bi 类型来处理，若是分数形成 z a  bi c  di ，则首先要进行 分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独立的字母，按照实数 的四则运算律直接进行运算，并随时把 i 2 换成 1 。 高考真题 1.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科）若 z=1+i，则|z2–2z|=（ A. 0 B. 1 C. 2 【答案】D 由题意首先求得 z2  2z 的 值，然后计算其模即可. 2 【详解】由题意可得： z   1  i   2i ，则 z  2 z  2i  2  1  i   2 . 2 2 ） D. 2 故 z 2  2 z  2  2 . 故选：D. 2.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷二（理科） 设复数 则 | z1  z2 | 【答案】 z1 ， z2 满足 |z1|=|z2 |=2 ， z1  z2  3  i ， =__________. 2 3 【解析】 【分析】 方法一：令 z1  a  bi,(a �R, b �R) ， z2  c  di,(c �R, d �R ) ，根据复数的相等可求得 ac  bd  2 ， 代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数 z1 , z2 uuur uuur uuur Z1 , Z 2 OP  OZ 1  OZ 2 , , 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行 所对应的点为 uuu r OP  OZ1  OZ 2  2 ，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算 OZ PZ 四边形 1 2 为菱形， z1  z2 . 【详解】方法一：设 z1  a  bi ,(a �R, b �R )  z1  z2  a  c  (b  d )i  3  i ， z2  c  di,(c �R, d �R ) ， � ac  3 � b  d  1 ，又 |z1|=|z2 |=2 ，所以 a 2  b 2  4 ， c 2  d 2  4 ， �  (a  c)2  (b  d )2  a 2  c 2  b 2  d 2  2(ac  bd )  4  ac  bd  2 2 2  z1  z2  (a  c)  (b  d )i  (a  c)  (b  d )  8  2  ac  bd   84  2 3 . ， 故答案为： 2 3. 方法二：如图所示，设复数 z1 , z2 所对应 的 点为 uuu r uuur uuur Z1 , Z 2 OP  OZ 1  OZ 2 , , uuu r OP  3  1  2  OZ1  OZ2 , 由已知 ∴平行四边形 OZ1 PZ 2 为菱形，且 VOPZ1 ,VOPZ 2 都是正三角形，∴ �Z1OZ 2  120� ， 1 | Z1Z 2 |2 | OZ1 |2  | OZ 2 |2 2 | OZ1 || OZ 2 | cos120� 2 2  2 2  2 ��� 2 2 (  )  12 2 ∴ z1  z2  Z1Z 2  2 3 . 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是 一 道 中 档 题 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 3.2020 年普通高等学校招生全国统一考试卷 3（理科）复数 A.  3 10 B.  1 10 1 C. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算求出 z 即可. 【详解】因为 z 1 1  3i 1 3    i 1  3i (1  3i )(1  3i) 10 10 ， 1 1  3i 的虚部是（ ） 3 D. 10 . 所以复数 z 1 3 1  3i 的虚部为 10 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为 ( a  1)  ( a  2)i 为实数，所以 a  2  0， a  2 ， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南） A. 4  5i B. 5i (1  2i )(2  i ) C. -5i =（ ） D. 2  3i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接计算出答案即可. 【详解】 (1  2i)(2  i)  2  i  4i  2i 2  5i 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 已知 是虚数单位，则复数 的 实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 6.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 已知 a∈R，若 a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a=（ ） A. 1 B. –1 C. 2 D. –2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为 为实数，所以 ， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） A. 1 B. −1 C. i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数除法法则进行计算. D. −i （ ） 【详解】 故选：D 点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 是虚数单位，复数 【答案】 【解析】 【分析】 将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】 故答案为： . . 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. _________．