重庆南开中学高 2021 级高三第七次质量检测 数学试题 2021.5 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数 A．1 B．2 C． 1 2．已知集合 A． f ( x )  a sin x  cos x ( 1, 2) 在点 (0, f (0))  ( 1,1] y  x2 垂直，则实数 a 的值为（ D． 2 A  x y  log 2   x 2  x  2  B． 处切线和直线 C． ( �,1)  ，B  y y  D． ( �, 2) 1  x2  ，则 A �B  （ ） ） 3．已知命题 p : 经过三点有且只有一个平面，命题 q : 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 则下列复合命题为真命题的是（ A． p �q B． p �� ( q) C． ） p �q D． p �� ( q) 4．生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部 分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为 S  2 RH ，球缺的体积 1 V   (3R  H ) H 2 公式为 ，其中 R 为球的半径，H 为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺， 3 若两个球冠的面积之比为 1: 3 ，则这两个球缺的体积之比为（ 1 A． 9 4 B． 27 5．已知方程 点在（ 5 C． 27 ） 2 D． 9 ax 2  bx  1  0(a , b �R ) 在复数范围内有一根为 1  i ，则复数 z  a  bi 在复平面上对应的 ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知 5 � � � 1 � sin �   � sin � 2  � ，则 6 �（ � 6� 3 � 7 A． 9 7 B． 9 7．已知函数  f ( x) 5 C． 9  ） 5 D． 9 对任意的实数 x 都满足 f ( x  4)  f ( x )  2 f (2) ，且函数 y  f ( x  2) 的图象关于点 (2,0) A．0 对称，若 f ( 1)  f (2)  2 B．2 C． 2 ，则 f (2021)  （ ） D．2021 8．已知 O 为坐标原点，点 A 在直线 l1 : x  y  c  0 上，点 B 在直线 l2 : 2 x  2 y  3c  0 13 数， VOAB 是以 O 为直角顶点的等腰三角形，若 VOAB 的面积为 2 ，则 c  （ A．1 B． 2 2 C． 3 2 上，其中 c 为正 ） D．4 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（ A．已知随机变量 ） X ~ B (10,0.4) B．已知随机变量 X，Y 满足 ，则 DX  2.4 X  2Y  3 ，且 X ~ N (2,1) ，则 E (Y )  1 C．线性回归模型中，相关系数 r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强 D．设 X ~ N   ,  ，则  越大，正态分布曲线越矮胖 2 10．抛物线 C1 : y  2 px ( p  0) 与双曲线 2 垂线 l，垂足为 H，与 A． p  C1 C2 : x2 y 2  1 具有共同的焦点 F，过 F 作 C2 的一条渐近线的 9 3 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则有（ 6 3 B． C2 的渐近线方程为 y  � 3 x ） C． OH  3 D．若 l 的倾斜角为锐角，则经过 O、F 且与直线 l 相切的圆的标准方程为 ( x  3)  ( y  1)  4 2 11．如图，在正方体 ABCD  A1 B1C1D1 中，E、F 分别为棱 CC1 、 AA1 2 的中点，则下列说法正确的有（ ） A．直线 B． AC 1 1 与直线 DE 共面 D1 F / / BE  C．二面角 E  BD  F 的大小为 2 D．直线 AC 与平面 1 1 12．已知函数 确的是（ f ( x )  e x , g ( x )  ln x, h( x )  a x ，其中 e 是自然对数的底数，a 为非零实数，则下列说法正 ） A．对任意的实数 a，曲线 B．当 3 EDB 所成角的正弦值为 3 a y  f ( x) 与曲线 y  h( x ) 都有交点 1 e 时，曲线 y  g ( x ) 与曲线 y  h ( x ) 恰好有一个交点 C．存在实数 a，使得曲线 y  h( x ) 与曲线 y  f ( x) 和 y  g ( x) 都有两个交点 D．设 A  x1 , y1  y  g ( x) B  x2 , y 2  是曲线 y  h ( x ) 与曲线 y  f ( x ) 的一个交点， 是曲线 y  h ( x ) 与曲线 的一个交点，则一定有 x1 x2  a 三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知数列  an  对任意正整数 n 均有 2an 1  an  an 2 成立，且前 n 项和 Sn 满足 S5  15 ，则 a3  _____ _． 14．高三年级拍毕业照时，某班甲、乙丙 3 名同学邀请该班 2 名老师站在一排合影留念，若 2 名老师相邻 且不站在两侧，则不同的站法有__________种． 15．已知 VABC 中， AB  4, AC  2, �BAC  60� ，点 M、N 满足 1 uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuuu r   AM   AB, AN   AC (  0,   0) ，且 CM 的最大值为_________． 4 ，则 BN � 16．李华以 18km / h 的速度骑着一辆车轮直径为 24 寸（1 米等于 3 尺，尺等于 10 寸）的自行车行驶在一 条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印（图中点 A），则点 A 滚动一周所用的时间为_____ _秒（用  表示）；若刚开始骑行时，油漆印离地面 0.6 米，在前行的过程中油漆印离地而的高度 h（单位：  � � h  f (t )  A sin(t   )  b �A  0,   0,     � 米）与时间（单位：秒）的函数关系式可以用 2 2 �来 � 刻画，则 f (t ) __________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）如图，在三棱柱 C1 D  2 3 ABC  A1B1C1 中， VABC 是边长为 4 的等边三角形，D 是 BC 的中点， ． （1）求证： A1B / / （2）当三棱柱 平面 AC1 D ABC  A1B1C1 18．（12 分）已知数列 ； 的体积最大时，求点 C 与平面 ABC1 的距离．  an  的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1  3, an  xan1  n  2(n �2) ，其中 x �R ． a （1）若 x  1 ，求 n ； （2）是否存在实数 x，y 使  an  yn 为等比数列？若存在，求出 Sn ；若不存在，说明理由． 19．（12 分）已知 VABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且满足 a  2b cos B ． （1）若 （2）若 C  4 ，求角 A； c  2, a cos B  3 ，求边长 b． 20．（12 分）为了庆祝建党 100 周年，某校高二年级将举行“学党史，忆先烈”党史知识竞赛，比赛以班为 单位报名参赛（每班 10 人）．为了帮助同学们学习并掌握更多的党史知识，学校准备了党史知识题库供学 生利用课余时间进行网上练习． （1）经统计，高二年级有 1000 名学生参与网上答题（其中物理类和历史类学生比例为 11: 9 ），其得分 情况可分为“优秀”和“良好”两个等级，请补全下面的“ 2 �2 列联表”，并判断是否有 99%的把握认为学生的 党史知识掌握情况与学生的选科类别有关系？ 优秀 物理类 良好 总计 250 历史类 200 总计 1000 （2）某班为了选出参赛队员，将报名的 20 名学生平均分为甲、乙两组，利用班会课进行了 7 轮班内选拔 比赛（每轮比赛每组满分 100 分），采用茎叶图记录了甲、乙两组 7 轮比赛得分如下图所示．已知甲组得 分的中位数与乙组得分的平均数相等． （ⅰ）求 x 的值； （ⅱ）根据甲乙两组的得分情况，应该选哪个组代表本班参加学校比赛？并说明理由． n (ad  bc ) 2 K  附： ( a  b)( c  d )(a  c )(b  d ) 2 P  K 2�k  0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（12 分）设 （1）当 x �0 1 2 x 2 ． f ( x )  sin x  x  时，求证： f ( x ) �0 （2）证明：对一切正整数 n，都有 22．（12 分）已知椭圆 E : ； sin1  sin 1 1 1 1 1 1  sin 2  sin