考点 03 函数的奇偶性与周期性 � 1� 1  � 1．（2021·全国高考真题（文））设 f x 是定义域为 R 的奇函数，且 f 1  x  f  x .若 f �       � 3� 3 �5 � �3 � ，则 f � � （ 5 A． 3  ） 1 1 5 B． 3 C． 3 D． 3  【答案】C 【分析】 由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 �5 � f �� �3 �的值. 【详解】 由题意可得： �5 � � 2 � � 2 � �2 � f � � f � 1  � f �  �  f � � �3 � � 3 � � 3 � �3 �， �2 � � 1 � �1 � f � � f � 1   f � �  f 而 �3 � � 3 � � �3 � 故 � 1� 1  �  � � 3� 3 ， �5 � 1 f � � �3 � 3 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本 题的关键. 两个奇偶函数四则运算的性质 两个奇函数的和仍为奇函数； 两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 图象特点 偶函数 一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就 关于 y 轴对称 叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 奇函数 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x) 关于原点对称 就叫做奇函数 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T) ＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，非零常数 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最 小正周期． 1．（2021·全国高三月考（文））函数 f  x  e x  e x ln x 的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 �1 � �3 � f �  x � f �  x � x �2 � �2 �，当 0 �x �1 时 f ( x )  e  1 ，则 2 �x �3 时 f ( x) 的解析式为（ ） A． f ( x)  1  ex 2 B． f ( x)  ex 2  1 C． f ( x )  1  e x 1 D． f ( x )  e x 1  1 3．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知定义在 R 上的奇函数 f  x 满足 f  x  f  2  x ．当 1 �x �2 时， f  x   log 2  x  7  ，则 f  2021  （ ） A．3 B． 3 C． 5 D．5 �ln x  sin x, 0  x �3 ，则 f  x  在  0,10  上的 � f  x  3 , x  3 4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知函数 f  x   � 零点个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2021·全国高三其他模拟（文））已知定义域为 R 的偶函数 y＝f（x）﹣3x 在[0，+∞）单调递增，若 f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数 m 的取值范围是（ A．（﹣∞，2] A． C． f  x  4  ln x 1 1  cos x 2 f  x  cos x � ln x 2  sin x 1 C．[ 2 ，+∞） B．[2，+∞） 6．（2021·全国高三二模）已知函数 ） f  x 1 D．（﹣∞， 2 ] 的部分图象如图所示，则 B． f  x   D． f  x  x 2 cos x ex 2  ln x x 2  cos x f  x 的解析式可能为（ ） 7．（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知函数 A． f ( x) D． f ( x) f ( x) 的图象关于 y 轴对称 f ( x) f  x ②当  +m=0 必有解 是奇函数 8．（2021·河南高三月考（文））已知函数 ①  1 log 2 x  x 2  1 ，则（ ） x 在（0，+∞）上单调递增 B．对任意 m∈R，方程 C． f ( x)  f  x   x 3  2ax  sin x ，现有下列四个结论: 是奇函数； a 2 3 时， f  x  恰有两个零点； 1 a � f x   ③若 为增函数，则 2； ④当 a 2 3 时， f  x  恰有两个极值点. 所有正确结论的编号是（ A．①③ ） B．①③④ C．②④ 9．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在 x  0 时， f  x  D．①②③  �, 0  � 0, � 上的函数 f  x  满足 f   x   f  x  ，且 ln x x .若关于 x 的方程 f  x   kx 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） 1� � 1� � �,  ��� 0, � � A． � e� � e� �1 � � 1�  ,0� U� 0, � B． � �e � � e� 1 �� 1 � � �,  � �� 0, � � C． � 2e � � 2e � � 1 �� 1 �  , 0 ��� 0, � D． � � 2e � � 2e � 10．（2021·吉林高三月考（文））已知 于 f  x 的结论： ① f  x 是周期函数； ② f  x 满足 ③ f  x 在（0，2）上单调递减； ④ f ( x )  cos f  x  f  4  x f  x 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点  1,0  对称．以下关 ； x 2 是满足条件的一个函数． 其中所有正确的结论是（ A．①②③④ ） B．②③④ C．①②④ D．①④ 11．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知函数 f  x  1  f  x  1 ，当 x � 0,1 ， f  x   ln x A．函数 f  x 的最小正周期为 1 B．函数 f  x 在 C．函数 f  x 相邻两个对称中心的距离为 2 D．函数 y  f  x   ln x ，则下列关于函数 f  x f  x 是 R 上的奇函数，且满足 叙述正确的是（ ）  0, 2021 内单调递增 在区间  0, 2021 内有1010 个零点 12．（2021·江西南昌市·高三三模（文））奇函数 f  x   log 2  x  a  ，则 f  2021  （ ） f  x 满足 f  2  x  f  x ，当 x � 0,1 时， D． 1 C． 2 B． 1 A． 0 13．（2021·安徽高三二模（文））定义在 R 上的奇函数 f  x 满足 f  2  x  f  x ，当 x � 0,1 ， �2021 � f � f  x   x  log 2 x ，则 � �2 �（ ） 3 A． 2 1 B． 2 1 C． 2 3 D． 2   14．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））若把定义域为 R 的函数 f  x 的图象沿 x 轴左右平移后，可以 得到关于原点对称的图象，也可以得到关于 y 轴对称的图象，则关于函数 （ ） A． f  x  f  x  0 B． f  x  1  f  1  x  C． f  x D． f  x 是周期函数 15．（2018·全国高考真题（文））已知 若 f (1)  2 A． ，则 f ( x) f  x 的性质叙述一定正确的是 存在单调递增区间 是定义域为 (�, �) f (1  x )  f (1  x ) 的奇函数,满足 . f (1)  f (2)  f (3)  L  f (50)  50 B． 0 C． 2 D． 50 16．（2019·北京高考真题（文））设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2019·全国高考真题（文））设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= ex 1 ，则当 x<0 时，f(x)= A． C． e x  1 B． e  x  1 D． e x  1 e  x  1 上单调递增的是 18．（2011·全国高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又区间 A． y  x 3 B． y  x 1 C． y   x  1 2 19．（2014·安徽高考真题（文））若函数 f ( x )( x �R ) D． y  2 x 是周期为 4 的奇函数，且在 [0,2] 上的解析式为 �x(1  x), 0 �x �1 29 41 f ( x)  � f ( )  f ( )  ___________ ，则 sin  x,1  x �2 � 4 6 20．（2017·山东高考真题（文））已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－3,0] 时，f(x)＝6－x，则