考点 01 集合与常用逻辑用 语 从近三年高考情况来看，集合与常用逻辑用语一直是高考的热点，尤其集合的运算考查比较频繁，一般 以集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系为主，与其他知识结合起来进行考查，以选择题的形式出 现． 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 集合间的 相等 子集 基本关系 真子集 空集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素 集合 A 中任意一个元素均为集合 B 中的元素，且集 符号语言 A＝B A⊆B 合 B 中至少有一个元素不是集合 A 中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 若全集为 U，则集合 A 符号表示 A∪B A∩B 的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩ ＝ (2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝ ，A∩B＝B∩A. ，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p 是 q 的必要不充分条件 p p 是 q 的充要条件 p q 且 q⇒p p⇔q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q且q p 6.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符 号“∀”表示. (2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻 辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 7.全称命题和存在性命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”) 　名称 全称命题 存在性命题 结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 形式　　 否定 ∃x0∈M， p(x0) ∀x∈M， p(x) 集合的基本概念 【例 1-1】（2020·常德市第二中学高三其他（文））已知集合 的取值集合为（ A． 【答案】C ，若 ） B． C． D． ，则实数 【解析】当 当 时， 时， 若 ， 或 ，此时 ； ，满足题意；若 实数 的取值集合为 ，满足题意； ， ，不满足互异性，不合题意； . 【例 1-2】（2020·江西省南昌二中高三其他（文））设集合 A={2，1-a，a2-a+2}，若 4∈A，则 a=（ ） A．-3 或-1 或 2 B．-3 或-1 C．-3 或 2 D．-1 或 2 【答案】C 【解析】若 1−a=4，则 a=−3，∴a2−a+2=14，∴A={2,4,14}； 若 a2−a+2=4，则 a=2 或 a=−1，检验集合元素的互异性： a=2 时，1−a=−1，∴A={2,−1,4}； a=−1 时,1−a=2(舍)，本题选择 C 选项. 【例 1-3】（2020·全国高三其他（文））已知集合 ，则 中元素的个数 为（ ） A．1 B．5 C．6 D．无数个 【答案】C 【解析】由题得 ， 所以 A 中元素的个数为 6. 【例 1-4】（2020·山东省高三一模）已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ A．4 个 ） B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】C 【解析】因为 ， 所以 A 中元素为被 5 除余 1 的自然数， 所以 ，元素有 2 个，故选：C 【例 1-5】（2019·凤阳县第二中学高三期中（文））下列五个写法：① ；④ A．1 ；⑤ B．2 ，其中错误写法的个数为( C．3 ；② ；③ ) D．4 【答案】C 【解析】对①： 对②： 对③： 是空集， 是集合， 也是集合，所以不能用 这个符号，故①错误. 也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确. 是集合， 也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确. 对④： 是元素， 是不含任何元素的空集，所以 ，故④错误. 对⑤： 是元素， 是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误. 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是 其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元 素是否满足互异性. 集合间的基本关系 【例 2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合 真子集的个数为（ A．3 ，则集合 ） B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由 所以集合 ，得 的真子集个数为 个. 故选：C 【例 2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合 为( 且 ，则 的非空真子集的个数 ) A．30 B．31 C．62 D．63 【答案】A 【解析】因为集合 所以 的非空真子集的个数为 且 ， . 故选：A 【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的取值集合为（ A．{1} ） B．{ } C．{1，-1} D．{ ，- } 【答案】C 【解析】集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B 则 或 A ，解得 故选： 1.若 B⊆A，应分 B＝ 和 B≠ 两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的 关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直 观进行求解. 集合的基本运算 【例 3-1】（2020·梅河口市第五中学高三其他（文））已知集合 A． B． C． D． 【答案】B ，则 （ ） 【解析】由已知 或 ，故选 B. ，故 【例 3-2】（2020·辽宁省抚顺一中高三二模（文））已知集合 则 （ ， ， ） A． B． C． D． 【答案】D , 【解析】因为 .故选 D. ，所以 【例 3-3】（2020·天水市第一中学高三二模（文））已知集合 ，且 表示的集合为（ 、 都是全集 （ ， 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所 ） A． B． C． D． 或 【答案】C 【解析】由韦恩图可知：阴影部分表示 ， ， ， . 【例 3-4】（2020·全国高三三模（文））已知集合 ，集合 （其 中 表示整数集），则 A． （ ） B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 又 ， . ，所以 【例 3-5】（2020·全国高三其他（文））函数 ， .若 成立，则实数 A． 的取值范围是（ B． ） C． 【答案】D 【解析】由题意知 的值域包含于 的值域. ， . 当 时， 的值域为 ； ， D． ，使得 当 时， 要使 值域包含于 . 值域，则 ，即 . 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.注意数形结合思想的应用. (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 Venn 图求解. (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. (3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新 定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的 集合，是解决这类问题的突破口. 充分条件与必要条件的判断 【例 4-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 中，“ ”是“ ” C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 余弦函数 由 在区间 ，可得 因此，“ ， 上单调递减，且 ， ，由正弦定理可得 ”是“ ， . ”的充分必要条件. 故选：C. 【例 4-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数 恒成立”的（ 定义域是 ，那么“ 是增函数”是“不等式 ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数 “ 为 上的增函数 不等式 恒成立，反之不成立， 是增函数”是“不等式 恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 【例 4-3】（2020·全国高三月考）若数列 差数列”的（ 的前 项和为 ，则“ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性， ”是“数列 是等 若 ，所以当 时， 所以 所以当 ， ，化简得 时， ①， ②， ① ②得 ，所以 证，所以“ ”是“数列 ，即数列 是等差数列，充分性得 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 全称量词与存在量词　 【例 5-1】（2019·江苏省高二期中）命题“ A． ， ， B． ”的否定为（ ） ， ， C． ， D． 【答案】A 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“ ， ”的否定为“ ， ”． 故选 A． 【例 5-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题 ， A． ， B． ， C． ， D． ， ，则 为（ ） 【答案】C 【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即 ， . 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否