专题 03 三角函数 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值． (2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等． (3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图． (4)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式． 5)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式． 考向预测： (1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题． (2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间． (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式． (4)三角函数的概念与其他知识相结合； (5)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质． 必备知识 1．三角函数的图象与性质 函数 性 质 图象 y  sin x y  cos x y  tan x 定义域 R R 值域  1,1  1,1 当 x  2 k   时 2  k �  最值  当 x  2k   k �  时 2 R 当 x  2k  k �  时， ymax  1 ； ymax  1 ； �  � �x x �k  , k � � 2 � 既无最大值 当 x  2k    k �  时 也无最小值 ymin  1 ． ymin  1 ． 周期性 奇偶性 2 2  奇函数 偶函数 奇函数  � � 2k  , 2k  � 在� 2 2� �  k �  上是增函数； 单调性  3 � � 2k  , 2k  � 在� 2 2 � � 在  2k   , 2k   k �  上是增函数； 在  2k , 2k     k �   � � k  , k  � 在� 2 2� �  k �  上是增函数． 上是减函数．  k �  上是减函数． 对称中心  k , 0   k �  对称性 对称轴 x  k    k �  2 对称中心  � � k  , 0 �  k �  � 2 � � 对称轴 x  k  k �  对称中心 �k �  k �  � ,0� �2 � 无对称轴 2.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0、、π、、2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点连线可得． (2)函数 y sin x 的图象经变换得到 y  A sin(x   ) ( A  0,   0) 的图象的两种途径 途 径 一 ： 函 数 y sin x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 （ 右 ） 平 移  个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数 y sin( x   ) 的图象；再将函数 y sin( x   ) 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin(x   ) 的图象；再将函数 y sin(x   ) 的图象上所  有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 A 倍（横坐标不变），得到函数 y  A sin(x   ) 的图 象． 途径二：函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不  变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上所有点向左（右）平移   个 单位长度，得到函数 y sin(x   ) 的图象；再将函数 y sin(x   ) 的图象上所有点的纵坐 标伸长（缩短）到原来的 A 倍（横坐标不变），得到函数 y  A sin(x   ) 的图象． (3)函数 y  A sin(x   ) ( A  0,   0) 的性质： ①振幅：A；②周期： T  2  ；③频率： f  ；④相位： x   ；⑤初相：  ．  2 3．三角函数的奇偶性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 4．三角函数的对称性 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ＋(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得； (2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得； (3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝(k∈Z)解得． 【重要公式】 1．同角三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系 tanα＝. 2．诱导公式 (1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S±α. (2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α 当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ； (3)tan(α±β)＝； (4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)＝cos(α＋θ). 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝. 5．降幂公式 (1)sin2α＝； (2)cos2α＝. 【易错警示】 1．忽视定义域 求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序 在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言 的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 3．忽视 A，ω 的符号 在求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意 A 和 ω 的符号，若 ω<0，需先通过诱导公式将 x 的系 数化为正的． 4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误． 5．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错， 导致三角函数符号错误． 6．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错． 真题体验 一、选择题 π f ( x)  cos( x  )  1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T7）同（2020 新课标Ⅰ卷·文科 T7）设函数 6 在 [π,π] 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ 10π A. 9 7π B. 6 ） 4π C. 3 3π D. 2 【答案】C � 4 � , 0 �， � 9 �  【解析】由图可得：函数图象过点 � 将它代入函数 f  x  可得： � � 4 cos � �   � 0 6� � 9 � 4 �  ,0� 又� � 9 �是函数 f  x  图象与 x 轴负半轴的第一个交点， 4   3 �    所以 9 6 2 ，解得： 2  T 所以函数 f  x  的最小正周期为 2 2 4   3  3 2 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 2、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T9）已知 � π(0, ) ，且 3cos2  8cos  5 5 A. 3 2 B. 3 1 C. 3 5 D. 9 ，则 sin  （ ） 【答案】A 【解析】 3cos 2  8cos   5 ，得 6cos 即 3cos 2   4 cos   4  0 ，解得 2   8cos   8  0 ， cos    Q  �(0,  ), sin   1  cos 2   又 2 3 或 cos   2 （舍去）， 5 3 . 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能 力，属于基础题. 3、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T2）若 α 为第四象限角，则（ A. cos2α>0 【答案】D B. cos2α<0 ） C. sin2α>0 D. sin2α<0 【解析】】方法一：由 α 为第四象限角，可得 所以 此时 3  2k    2  2k , k �Z ， 2 3  4k  2  4  4k , k �Z 2 的终边落在第三、四象限及 y 轴的正半轴上，所以 sin 2  0 故选：D.   方法二：当   当 由  � �  cos 2  cos �  � 0 � 3 � ，选项 B 错误； 6 时， � 2  cos 2  cos �  � 3 3 时， 在第四象限可得： � � 0 ，选项 A 错误； � sin   0, cos   0 ，则 sin 2  2sin  cos   0 ，选项 C 错误，选项 D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. π 4、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T9） 已知 2tanθ–tan(θ+ 4 )=7，则 tanθ=（ ） A. –2 B. –1 C. 1 【答案】D � � tan   1 7， � 7 ， 2 tan   � 4� 1  tan   【解析】Q 2 tan   tan � D. 2 令 t  tan  , t �1 ，则 2t  1 t 7 ，整理得 t 2  4t  4  0 ，解得 t  2 ，即 tan   2 . 1 t 故选：