湖南师大附中 2021—2022 学年度高一第二学期第二次大练习 数学 一、选择题 1.在以下调查中，适合用全面调查的是（ ） A.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 B.调查一个地区结核病的发病率 C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 2.若复数 z 满足  1  i  z  i ，则复数 z 的虚部为（ 1 A. 2 1 i B. 2 ） C.1 D. i r uuu r r uuur 3.如图，平行四边形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 在线段 BE 上，且 BF  3FE ，记 a  BA ， b  BC ， uuur CF （ 则 ） 2r 1r a b A. 3 3 2r 1r a b B. 3 3 1 r 3r  a b C. 4 8 3r 5r a b D. 4 8 4.一个袋子中有红、黄、蓝、绿各一个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球、黄色 小球都取到”记为事件 M ，用随机模拟的方法估计事件 M 发生的概率.利用计算机随机产生 0，1，2，3 四个 随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟 产生了以下 18 组随机数： 110 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件 M 发生的概率为（ ） 2 A. 9 1 B. 3 5 C. 18 uuur uuu r r r 2 D. 3 uuur r r r r r r r b b� c  c� a （ 5.等边三角形 ABC 的边长为 1， BC  a ， CA  b ， AB  c ，则 a � 3 C. 2 B. 3 A.3 B. C. D. M � A � l � M � A � ， ， ， ， ， I  l B � 3 D. 2  ） 6.下列推断中，错误的是（ A.若 ） ， ，则 M �l B � �  I   AB A �l � A � A, B, C � ， A, B, C � ，且 A, B, C 不共线 �,  重合 7.成语“五音不全”中的“五音”指的是中国古乐中的五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽 .如果从这五个音阶中 任取两个音阶，排成一个有两个音阶的音序，则这个音序中官和羽至少有一个的概率为（ 1 A. 2 7 B. 10 8. 在 △ ABC 中 ， 角 �ABC A, B, C 的最大值为（  A. 6 9 C. 20 所对的边分别是 a, b, c ） 11 D. 20 ， 若 c cos A  a cos C  2 ， AC 边 上 的 高 为 3 ，则 ）  B. 3  C. 2 2 D. 3 二、选择题 9.如图所示，在正方体 论正确的是（ ） ABCD  A1B1C1 D1 中， O 为 DB 的中点，直线 A1C 交平面 C1 BD 于点 M ，则下列结 A. C1 ， M ， O 三点共线 B. C1 C. C1 ， M ， O ， A 四点共面 D. D ， ， M ， O ， C 四点共面 D1 ， M ， O 四点共面 ） 10.下列说法正确的有（ A.任意两个复数都不能比大小 B.若 z  a  bi  a �R, b �R  C.若 z1 , z2 �C ，且 D.若复数 z 满足 11.已知 A.若 B.若 m, n m    C.若 m  D.若 m // ，则当且仅当 a  b  0 时， z  0 z12  z22  0 z 1 ，则 z  2i ，则 是两条不同的直线， ， ， ， ， n m � n // n // ， ， ， ，   n �    // z1  z2  0 的最大值为 3 , 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ，则直线 ，则直线 ，则直线 ，则直线 m m m m ） n 与 可能相交或异面 n 与 一定平行 n 与 一定垂直 n 与 一定平行 12. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 点 E 是 CD 的 中 点 ， 点 F 为 线 段 BD 上 的 一 动 点 ， 若 2  3x uuur uuur uuur AF  x AE  yDC  x  0, y  0  ，则 4 y 2  1 的取值可以是（ ） 1 A. 2 1 B. 4 C.1 D.2 三、填空题 13.一箱产品中有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件：①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品；②至少有 1 件次品 和全是次品；③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；④至少有 1 件次品和全是正品，其中为互斥事件的是___ _____. 14.某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x （吨），用水量 不超过 x 的部分按平价收费，超过 x 的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况，小明通过随机 走访，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照  0, 0.5 ，  0.5,1 ，…，  4, 4.5 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨）， 如果你是小明，你觉得 x 的估计值为________.  r r r r r r r r r r r 15.设 e1 ， e 2 为单位向量，且 e1 ， e 2 的夹角为 3 ，若 a  e1  3e 2 ， b  2e1 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向 量为________. 16.已知三棱锥 P  ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， PA  平面 ABC ， PA  6 ， AB  AC ， AB  2 ， AC  2 3 ，点 D 为 AB 的中点，过点 D 作球的截面，则截面面积的取值范围是________. 四、解答题 17.如图，在正方体 （1） BD1 // ABCD  A1 B1C1 D1 中， E 为 DD1 的中点， BD 与 AC 交于点 O .求证： 平面 AEC ； BB D D （2）平面 AEC  平面 1 1 . ur r m  cos 2 C ,  1 n   2, cos  A  B   1 ，且   18.在 △ ABC 中，内角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ，设 ， ur r mn. （1）求 cos C 的值； uuuu r 1 uuur AM  MB （2）若 c  2 2 ， a  2 ，点 M 满足 ，求 CM 的长. 2 19.一个袋中有 4 个大小质地都相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，黑球 1 个，现从袋中有放回地取球， 每次随机取一个，连续取两次. （1）求连续两次都取到白球的概率； （2）若到红球记 2 分，取到白球记 1 分，取到黑球记 0 分，求连续两次取球所得分数之和大于 2 分的概率. 20.如图，已知 动点. ABCD  A1 B1C1 D1 是底面为正方形的长方体， �AD1 A1  60� AD1  4 ， ，点 P 是 AD1 上的 （1）当 P 为 （2）求 PB1 AD1 的中点时，求异面直线 与平面 21.如图，三棱柱 （1）求证： AA1 D1 （2）若 AB  2 ， 与 B1P 所成的角的余弦值； 所成角的正切值的最大值. ABC  A1 B1C1 A1C  CC1 AA1 中， AA1  BC ， A1 B  BB1 ， ； AC  3 ， BC  7 ，问 AA1 为何值时，三棱柱 ABC  A1 B1C1 体积最大，并求此最大 值. 22.在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45�且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ，经过 40 分 钟又测得该船已行驶到点 A 北偏 45�  sin   （其中 26 26 ， 0�   90�）且与点 A 相距 10 13 海里的 位置 C . （1）求该船的行驶速度（单位：海里/时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 湖南师大附中 2021—2022 学年度高一第二学期第二次大练习 数学参考答案 一、选择题 1.A 2.A【解析】∵  1  i  z  i ，∴ z i  1 i i i 1 1 1 1     i 1 i 1 i 1 i 2 2 2 ，故复数 z 的虚部为 2 ，故选 A. uuur uuur uuur 3 uuu r uuur 3 �uuu r 1 uuur � r 3 r 5 r CF  BF  BC  BE  BC  �BA  BC � b  a  b 3.D【解析】 4 4� 2 4 8 ，故选 D. � 4.B【解析】由题表中数据知表示事件 M 发生的随机数有 110，021，001，130，031，103，共 6 组，由此可 以估计事件 M 发生的概率 P 6 1  18 3 .故选 B. r r r r r r r r r r r r 3 �1� 2 a� b b� c  c� a  1�� 1 �  � �3   a , b  a , c  b , c  5.D【解析】由题意可得， 2 .故选 D. � 2� 3 ，∴ 6.C【解析】对于 A，因为 对于 B， A � 对于 C，若 ， A � lI   A M � ， ， B � ，则有 ， l � M � B � ， 对于 D，有三个不共线的点在平面 A �l