2021-2022 学年湖北省东南联盟高二（上）联考数学试卷（10 月份） 一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）. 1．已知集合 U＝R，A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B∩∁UA＝（　　） A．（﹣2，3） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3） 2．已知平面 α 的法向量是（2，3，﹣1），平面 β 的法向量是（4，λ，﹣2），若 α⊥β， 则 λ 的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D． C． D． ，则复数|z|＝（　　） 3．已知 A．4 B． 4．在△ABC 中，A（4，﹣1），AB 的中点 M（3，2），重心 P（4，2），则 BC 边所在直 线的斜率为（　　） A． B． C． D． 5．有 7 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前 3 名参加决赛，小明同学已经知道 了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 7 名同学成绩的（　　） A．平均数 6．设向量 B．众数 ＝（1，﹣2）， C．中位数 ＝（a，﹣1）， ＝（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a ＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 的最小值为（　　） A．4 C．8 B．6 D．方差 D．9 7．正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四 面体的高的比值为（　　） A． B． C． D． 8．某重点高中 110 周年校庆学校安排了分别标有序号为“1 号”、“2 号”、“3 号”的三辆车，等 可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不 乘坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆 车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二乘坐到“ 3 号”车的概率分别为 P1，P2，则 P1，P2 分别为（　　） A． B． C． D． 二.多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.每小题选漏得 2 分，选错得 0 分. 9．α，β 是两个平面，m，n 是两条直线，下列四个命题中正确的命题是（　　） A．如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β B．如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n C．如果 α∥β，m⊂α，那么 m∥β D．如果 m∥n，α∥β，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 10．下列有关命题的说法正确的是（　　） A．已知两条直线 l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：（a2+a﹣2）x+ay+3＝0 平行，则 a＝﹣4 B．已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8＝0 与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7＝0 垂直，则 a＝ 1 或 a＝0 C．在△ABC 中，sin2A＝sin2B，则△ABC 是等腰三角形 D．对于命题 P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢P：∀x∈R，x2+2x+2＞0 11．若将函数 f（x）＝cosx 的图象所有点的横坐标缩短为原来的 像向左平移 ，最后向上平移 1 个单位得到函数 g（x）的图像，则下列说法正确的是 （　　） A．g（x）的对称中心 B．g（x）在区间 C． 纵坐标不变），再把图 上单调递减 是函数 g（x）图象的对称轴 D．g（x）在 上的最小值为 12．如图所示，正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 各棱的长度均相等，D 为 AA1 的中点，M、N 分别是 线段 BB1 和线段 CC1 上的动点（含端点），且满足 BM＝C1N，当 M、N 运动时，下列结 论中正确的是（　　） A．平面 DMN⊥平面 BCC1B1 B．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 C．三棱锥 A1﹣DMN 的体积是三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积的 D．cos∠MDN∈ 三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有 20 名同学参加投篮比赛，已知每名同 学投进的概率均为 0.6，每名同学有 2 次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规 定：投进两个得 4 分，投进一个得 2 分，一个未进得 0 分，则一名同学投篮得 2 分的概 率为 　 　． 14．已知直线（k+1）x+（1﹣2k）y﹣3＝0（k∈R）恒过定点 A，点 A 在直线 ＝1（m ＞0，n＞0）上，则 2m+n 的最小值为 　 　． 15．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的正弦值为　 　． 16．已知函数 y＝f（x﹣2）的图像关于 x＝2 对称，且对 y＝f（x），x∈R，当 x1、x2∈（﹣ ∞，0），且 x1≠x2 时， 成立，若 f（2ax）＜f（2x2+1）对任意 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围为 　 　． 四.解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acosB+bcosA＝2ccosC． （1）求 C； （2）若△ABC 的面积为 10 ，D 为 AC 的中点，求 BD 的最小值． 18．已知直线 l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）． （1）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； （2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，求△AOB 面积的最小值； （3）已知 P（1，5），若点 P 到直线 l 的距离为 d，求 d 最大时直线 l 的方程． 19．某校有高中生 2000 人，其中男女生比例约为 5：4，为了获得该校全体高中生的身高 信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为 n 的样本，得到频数分布 表和频率分布直方图． 身高（单 [145，155 [155，165 [165，175 [175，185 [185，195 位：cm） ） ） ） ） ） 频数 m p q 6 4 （1）根据图表信息，求 n，q 并补充完整频率分布直方图．估计该校高中生的身高均值 ； （同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） （2）若身高在[175，185）的 6 人中，男生有 3 人，女生有 3 人，选出 2 人参加团委活 动，求选出的 2 人性别不同的概率． 20．如图，在几何体 ABCDEF 中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE⊥平面 ABCD，CF＝1． （1）求证：BC⊥AE； （2）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ（0＜ θ≤90°），试求 cosθ 的最大值． ． 21．已知函数 （1）解不等式 f（x）≥﹣ ； （2）若 ，若 的最小值是﹣ ，求实数 λ 的值． 22．如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，直线 PC⊥平面 ABC，E，F 分别是 PA，PC 的中点． （Ⅰ）记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l，试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系，并加 以证明； （Ⅱ）设 PC＝2AB，求二面角 E﹣l﹣C 大小的取值范围． 参考答案 一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）. 1．已知集合 U＝R，A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B∩∁UA＝（　　） A．（﹣2，3） B．（1，2） C．（1，3） D．（2，3） 【分析】求出集合 A，B，进而求出∁UA，由此能求出 B∩∁UA． 解：∵集合 U＝R，A＝{x||x|≥2}＝{x|x≤﹣2 或 x≥2}， B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}， ∴∁UA＝{x|﹣2＜x＜2}， ∴B∩∁UA＝{x|1＜x＜2}． 故选：B． 2．已知平面 α 的法向量是（2，3，﹣1），平面 β 的法向量是（4，λ，﹣2），若 α⊥β， 则 λ 的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D． 【分析】由题意可得平面的法向量垂直，由数量积为 0 可解 λ． 解：由题意可知：平面 α 和 β 的法向量分别是（2，3，﹣1）和（4，λ，﹣2）， 由平面 α⊥β，可得它们的法向量垂直， 故（2，3，﹣1）•（4，λ，﹣2）＝8+3λ+2＝0， 解得 λ＝ ， 故选：C． 3．已知 A．4 ，则复数|z|＝（　　） B． 【分析】可设 z＝a+bi（a，b∈R），根据 解：设 z＝a+bi（a，b∈R）， C． D． ＝2+i 可求得 z，从而可求得|z|． ∵ ＝2+i， ∴ ＝ ＝ ∴ ＝2+i， ＝2，﹣ ＝1， a＝1，b＝﹣3． ∴z＝1﹣3i， ＝ ∴|z|＝ ． 故选：D． 4．在△ABC 中，A（4，﹣1），AB 的中点 M（3，2），重心 P（4，2），则 BC 边所在直 线的斜率为（　　） A． B． C． 【分析】由中点坐标公式（ ， ， D． ）可得点 B 的坐标，由重心坐标公式（ ）可得点 C 的坐标，再由 B 和 C 两点的坐标即可得其斜率． 解：因为 A（4，﹣1），AB 的中点 M（3，2）， 所以点 B 的坐标为（2，5）， 又重心 P（4，2）， 所以点 C 的坐标为（6，2）， 所以直线 BC 的斜率为 ＝﹣ ． 故选：B． 5．有 7 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前 3 名参加决赛，小明同学已经知道 了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 7 名同学成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【分析】7 人成绩的中位数是第四名，由此能求出结果． 解：7 人成绩的中位数是第四名， 取前 3 名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩， 为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道 7 名同学成绩的中位数． 故选：C． ＝（1，﹣2）， 6．设向量 ＝（a，﹣1）， ＝（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a ＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 的最小值为（　　） A．4 C．8 B．6 D．9 【分析】利用向量共线定理可得：2a+b＝1，再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质求出最 小值． 解：因为向量 所以 ＝（1，﹣2）， ＝（a﹣1，1）， ＝（a，﹣1）， ＝（﹣b，0）， ＝（﹣b﹣1，2）， 又 A，B，C 三点共线， 所以 2（a﹣1）﹣1×（