必修二第六章平面向量及其应用（基础卷） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计 40 分 ， ） 1. 下列说法中错误的是（ ） A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 → → → → B.若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D.方向相反的两个非零向量必不相等 2. 已知向量 ， A. ，若 ¿ ¿ ，则 C. −2 B. → ¿ D. 2 → ¿ → → → 3. 若平面向量 a =( 1,− 4 ) , b =( k , 1 ) ( k >0 ) ，且 ¿ b ∨¿ ❑√ 5 ，则 → b ⋅ 3 a +2 b =¿ A. −8 B. − 4 C. 4 → ( ¿ ) D. 8 → → → 4. 平面直角坐标系中，向量 a =(2, 3) ， b =(− 1, k) ，若 a /¿ b ，则实数 k 的值为（ ） A. 2 B. −2 → C. 1 2 D. − 1 2 → 5. 若 a ， b 是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ） → → A. a =b → → B. a ⋅ b =1 → → → → C. a ⊥ b → → D. ¿ a ¿2=¿ b ¿2 → → → → 6. 设 a =(− 1,2) ， b =(1, −1) ， c =(3, −2) ，且 c =p a +q b ，则实数 p 、 q 的值 分别为（ ） A. p=4 ， q=1 ， q=4 B. p=1 ， q=− 4 C. p=0 ， q=1 D. p=1 → → → → 7. 已知向量 a =(− 2,2) ， b =(5, k ) ．若 ¿ a + b ∨¿ 不超过 5 ，则 k 的取值范围是（ ） A. [− 4, 6] B. [− 6, 4] → C. [− 6,2] → D. [− 2,6 ] → → → → 8. 已知向量 a =(2, −1,3) ， b =(−4,2, x) ，使 a ⊥ b 成立的 x 与使 a /¿ b 成立的 x 分别 为（ ） 10 ，− 6 3 10 ，− 6 C. −6 ， 3 10 ， −66 3 10 ， −6 D. 6 ， − 3 B. − A. 二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） ¿ 9. 已知 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是 ¿ ¿ A. 且 B.若 则 ，则 C. ，则 与 D.若 共线且反向 10. 若四边形 ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是( → → → → A. AD ， CB 共线 → → → → ) B. AC ， BD 相等 C. AD ， CB 模相等，方向相反 D. AC ， BD 模相等 11. 已知向量 A.（ C. +2 ＝ (1,3) ， ＝ (−2, 1) ， ） ¿/¿ B.（ D. +2 ＝ (3,− 5) ，则（ ） ） ⊥ 12. 已知 D ， E ， F 分别是 △ ABC 三边 AB ， BC ， CA 的中点，则下列等式成 立的是（ ） A. B. C. D. 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计 20 分 ， ） 13. 已知 A (2, 4 ) 、 → → → −4 3 → 4 → ．, 6 ¿ ，若 AC = AB ， BD = BA ，则 CD 的坐标为 B¿ 2 3 ________． → → 14. 已知等边三角形 ABC 的中心为 O ，边长为 4 ，则向量 AO 在 AB 上的投影为 ________． ∘ 15. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60 方向， ∘ 行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15 方向，这时船与灯塔的距离为________ km . 16. → → → → → → △ ABC 中， ¿ BC ∨¿∨BA +CA ∨¿ ， ¿ AB ∨¿ 3 ，则 AB ⋅ BC 的值为________. 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计 70 分 ， ） → → 17.(10 分) 已知向量 a =(1, 5,− 1) ， b =(− 2,3, 5) ． → → → → → → → （1）若 (k a + b )/ ¿( a −3 b ) ，求实数 k ； → （2）若 (k a + b )⊥( a − 3 b ) ，求实数 k ． △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ． （1）若 a ， b ， c 成等差数列，证明： sin A +sin C=2 sin( A+C ) ； 18.(12 分) 1 4 2 2 2 （2）在 △ ABC 中，若 S △ ABC = (b +c − a ) ，求角 A 的大小． → → → → → → 19.(12 分) 已知 a =(m−2) i +2 j ， b = i +(m+ 1) j （其中 → → i 、 j 分别为 x 、 y 轴 正方向的单位向量） → → （1）若 m=2 ，求 a 、 b 的夹角； → → → → （2）若 (a + b )⊥( a − b ) ，求实数 m 的值． 20. （12 分） 设 ① a=6 ； ② √ 3 sin B=sin A ； ③ c sin A=6 ，请在这三个条件中任选两个补 充到下列问题中，若补充后问题中的三角形存在，求 △ ABC 的面积；若不存在，请说明理由． 问题：是否存在 △ ABC ，其内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ❑ a cos A = 2 c −b cos B ，________． → → 21.(12 分) 已知 ¿ a ∨¿ 4 ， b =( 1, ❑√ 3 ) . → → → (1) 若 a /¿ b ，求向量 a 的坐标； → → → (2) 若 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标. 22.(12 分) 某村子的正西是一片山区．山脚下 A 处已建一处采石场，村子的北边有一池塘，南边 有一树林，在 B 处是个石粉厂，在采石场采到的石料由公路 ACEDB 运输到石粉厂，如图所示． 已知 A ， C ， D ， B 在一条直线上， AC =2 km ， CE=2 km ， ED=3 km ， DB=2 km ， ∠ CED=120∘ ． （1）求 CD 的长． （2）在运作了一段时间后，发现在运输车经过公路 CE ， ED 时对池塘有污染..需要另建公路 ACMNB ．为了不破坏树林，必须要求 CM =3 km ， ∠ CMN=135∘ ， ∘ ∠ MNB=150 MN /¿ AC ．求建这条新的公路中 MN 的长． 参考答案与试题解析 必修二第六章平面向量及其应用（基础卷） 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计 40 分 ） 1. 【答案】 C 【考点】 向量的物理背景与概念 【解析】 根据向量的基本概念，结合共线向量、相等向量，对选项中的命题进行判断即可． 【解答】 解：对于 A ，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向 A 正确； 量也不是有向线段， ∴ 对于 B ， ∵ → → → 量， B 正确； 对于 C ，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量， ∴ 对于 D ，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量， ∴ D 正确． 故选： C ． 2. 【答案】 D 【考点】 数量积的坐标表达式 【解析】 根据向量垂直的条件，利用数量积坐标直接计算即可． 【解答】 → → a⊥b →→ a b =m− 2=0 m=2 故选： D 3. 【答案】 C 【考点】 → → 0 与任一向量都共线， ∴ 向量 a 与 b 不共线时， a 、 b 都是非零向 C 错误； 方向相反的两个非零向量必不相等， 平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算 向量的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】 → 解：由 ¿ b ∨¿ ❑√ 5 ，得 √ k 2 +1=❑√ 5 ，解得 k =±2 ， ❑ → 又 k >0 ，所以 k =2 ，所以 b =( 2,1 ) ， → → 所以 a ⋅ b =−2 ， → ( → → ) → → → 所以 b ⋅ 3 a +2 b =3 a ⋅b +2 b2 =−6+2 ( ❑√ 5 )2=4. 故选 C ． 4. 【答案】 D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】 → → 根据 a =( x 1 , y 1 ) ， b =( x 2 , y 2 ) 两个向量平行的条件是 x 1 y 2=x 2 y1 建立等式，解之即可． 【解答】 → 3 → 解：因为 a /¿ b ，由两个向量平行的条件得 2 k=− 3 ，故 k =− 2 故选 D ． 5. 【答案】 D 【考点】 平面向量数量积的运算 向量的模 平行向量的性质 【解析】 → → → → → → a ， b 是两个单位向量，可得 ¿ a ∨¿∨b ∨¿ 1 ，由于 a 与 b 夹角没有给出，因此 → → → → a ⋅ b =cos< a ， b >∈[− 1,1] ，即可判断出． 【解答】 → 解： ∵ ∴ → a ， b 是两个单位向量， → → ¿ a ∨¿∨b ∨¿ 1 ， → → 由于 a 与 b 夹角没有给出， ∴ → → → → → → a =b 不一定正确， a ⋅ b =cos< a ， b >≠ 1 ， 0 ， 因此 A ． B ． C ．不正确． → → 对于 D:∨a ¿ 2=1=¿ b ¿2 ，正确． 故选： D ． 6. 【答案】 D 【考点】 平面向量的坐标运算 相等向量与相反向量 【解析】 利用向量的线性坐标运算法则和向量相等即可得出． 【解答】 解： ∵ ∴ → → → → → → p a +q b = p(− 1,2)+q (1, −1)=(− p+q , 2 p − q) ，且 c =p a +q b ， c =