2.4.1 圆的标准方程 （基础知识+基本题型） 知识点一 确定圆的几何要素 确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了. 从集合的角度理解圆 （1）圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. （2）确定一个圆的条件 在平面直角坐标系中，圆心为 知识点二 A(a, b) ，半径长为 r (r  0) 的圆上的点 M 的集合就是集合 P  {M || MA | r} . 圆的标准方程 1．圆的标准方程的推导 如图所示，设圆上任意一点 M ( x, y) ，圆心 由 | MA | r ，根据两点间的距离公式，得 等式两边平方得 若点 M ( x, y ) 反之，若点 ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2 在圆上，易知点 M ( x, y ) M A 的坐标为 ( a, b) ， ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r ， .① 的坐标满足方程①； 的坐标适合方程①，则点 M 在圆上，我们把方程 ( x  a ) 2  ( y  b)2  r 2 称为圆心为 A(a, b) ，半径长为 r (r  0) 的圆的标准方程. 确定圆的标准方程的条件 ( a, b) a b r r （1）圆的标准方程中有三个参数 ， ， ，其中实数对 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数 表 示圆的半径，能确定圆的大小. （2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的 圆心坐标和圆的半径. 2．几种常见的特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 x2  y 2  1 单位圆（圆心在原点，半径长为 1） 过原点（圆心 ( a, b) ，半径长 r  a 2  b2 ） 圆心在原点（即 a  0 ， b  0 ，半径长为 r ， r  0） 圆心在 x 轴上（即 b  0 ，半径长为 r ， r  0 ） 圆心在 y 轴上（即 a  0 ，半径长为 r ， r  0 ） 知识点三 ( x  a ) 2  ( y  b) 2  a 2  b 2 x2  y2  r 2 ( x  a) 2  y 2  r 2 x 2  ( y  b) 2  r 2 圆心在 x 轴上且过原点 r | a | b0 （即 ，半径长 ） ( x  a)2  y 2  a 2 圆心在 y 轴上且过原点 r | b | a0 （即 ，半径长 ） x 2  ( y  b)2  b 2 ( a, b) r | b | x 与 轴相切（圆心 ，半径长 ） ( x  a ) 2  ( y  b) 2  b 2 y ( a, b) r | a | 与 轴相切（圆心 ，半径长 ） ( x  a) 2  ( y  b) 2  a 2 点与圆的位置关系 1．圆的标准方程的推导 圆的标准方程为 ( x  a ) 2  ( y  b) 2  r 2 ，圆心为 A(a, b) ，半径长为 r .设所给点为 则点 M 与圆的位置关系及判断方法如下： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 M ( x0 , y0 ) ， 点 | MA | r � 点 M 在圆 A 上 点在圆上 点 M ( x0 , y0 ) 在圆内 � ( x0  a )2  ( y0  b) 2  r 2 点 | MA | r � 点 M 在圆 A 外 点在圆外 在圆上 � ( x0  a )2  ( y0  b) 2  r 2 | MA | r � 点 M 在圆 A 内 点在圆内 M ( x0 , y0 ) M ( x0 , y0 ) 在圆外 � ( x0  a )2  ( y0  b) 2  r 2 （1）从几何意义上来看，点与圆的位置关系可以根据点到圆心的距离与半径大小的关系来判断. （2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小. 考点一：圆的标准方程 例 1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是 3； (2)已知圆 (3)经过点 C 经过 A(5,1), B (1,3) P  5,1 ，圆心在点 x 两点，圆心在 轴上； C  8, 3  ． 【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法 ， 求出圆心坐标和半径. 2 2 2 2 【答案】（1） x  y  9 （2） ( x  2)  y  10 （3）  x  8    y  3 2 【解析】(1) (2)线段 | CB | 10 AB 2  25 x2  y 2  9 的中垂线方程为 ，所以圆 C 的方程为 2x  y  4  0 x 轴的交点 (2, 0) 即为圆心 C ( x  2) 2  y 2  10 . (3)解法一：∵圆的半径 r | CP | ∴圆的方程是  x  8    y  3 2 ，与 2  5  8  2   1  3 2  5 ，圆心在点 C  8, 3  25 解法二：∵圆心在点 C  8, 3  ，故设圆的方程为  x  8    y  3 2 2  r2 的坐标，所以半径为 又∵点 P  5,1 在圆上，∴  5  8    1  3 2 ∴所求圆的方程是  x  8    y  3 2 例 2 已知圆过两点 A(3,1) ， B( 1,3) 2 2  r 2 ，∴ r 2  25  25 . ，且它的圆心在直线 解：方法 1：设所求圆的标准方程为 3x  y  2  0 ( x  a )2  ( y  b) 2  r 2 . � (3  a )2  (1  b)2  r 2 � (1  a)2  (3  b)2  r 2 依题意，有 � ， � 3a  b  2  0 � � a 2  b 2  6a  2b  r 2  10 � a2 �2 � 2 2 a  b  2 a  6 b  r  10 b4 . 即� ，解得 � � �2 3a  b  2  0 r  10 � � 故所求圆的标准方程为 方法 2：直线 ( x  2) 2  ( y  4)2  10 . 3 1 1 的斜率 k  1  3   2 ， AB 所以线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2. 线段 3 1 1 3 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x  2  1 ， y  2  2 . AB 因此直线 m 的方程为 又因为圆心在直线 y  2  2( x  1) 3x  y  2  0 即 2x  y  0 . 上， 所以圆心是这两条直线的交点. 2x  y  0 � �x  2 � � 3 x  y  2  0 ，解得 �y  4 . 联立方程，得 � 设圆心为 C ，所以圆心坐标为 所以所求圆的标准方程为 方法 3：设圆心为 C (2, 4) ，又因为半径长 ( x  2)2  ( y  4)2  10 .因为圆心 C 在直线 r | CA | 10 . 3x  y  2  0 上， . 上，求此圆的标准方程. 所以可设圆心 C (a,3a  2) 的坐标为 (a  3) 2  (3a  2  1)2  (a  1)2  (3a  2  3)2 又因为 | CA || CB | ，所以 所以圆心为 (2, 4) ，半径长 故所求圆的标准方程为 . r | CA | 10 ，解得 a  2 . . ( x  2) 2  ( y  4)2  10 . 【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a、b、r 的方程组，求 a、b、r 或 直接求出圆心（a，b）和半径 r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2； （2）根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组； （3）解方程组，求出 a、b、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 考点二：点与圆的位置关系 例 3．判断点 M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10 的位置关系． 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】 ∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10， 分别将 M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外； (5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内． 【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为 O，半径为 r，则点 P 在圆内 � |PQ|＜ r；点 P 在圆上 � |PQ|=r；点 P 在圆外 � |PO|＞r．从数的角度来看，设圆的标准方程为 (x―a)2+ (y―b)2=r2 ，圆心为 A（a，b），半径为 r，则点 M（x0 ，y0 ）在圆上 � (x0―a)2+(y0―b)2=r2 ；点 M（x0，y0）在圆外 � (x0―a)2+(y0―b)2＞r2；点 M（x0，y0）在圆内 � (x0―a)2+(y0―b)2＜r2． 例 4 已知点 A(1, 2) 在圆 C ： ( x  a ) 2  ( y  a ) 2  2a 2 解：因为点 A 在圆的内部，所以 所以 2a  5  0 ， a a 的内部，求实数 的取值范围. (1  a) 2  (2  a)2  2a 2 . 5� � 5 a|a � � 2 . � 2 .所以 a 的取值范围是 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方 程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可. 例 5 已知两点 P (3,5) P1 (3,8) 和 P2 (5, 4) ，求以线段 是在圆