考向 29 数列求和 1．（2021·浙江高考真题）已知数列  an  满足 （ ） A． 3  S100  3 2 B． 3  S 100  4 a1  1, an 1  an n �N    1  an .记数列  an  的前 n 项和为 Sn ，则 C． 4  S100  9 2 D． 9  S100  5 2 【答案】A 【分析】 2 显然可知， S100 �1 1 1 1 1� 1 1 1 1 1  � ，再放缩可得   ，由  ，利用倒数法得到 a  a  a  � � � 2 4 a an 1 an 2 n 1 n n � n � 2 an an 1 n  1 4 an 1  � an � 2 1  an 局部放缩可得 an n  3 ，然后利用累乘法求得 累加法可得 (n  1) ，进而由 6 an � (n  1)(n  2) ，最后根据裂项相消法即可得到 S100  3 ，从而得解． 【详解】 因为 a1  1, an 1  an 3  n �N   S100  1  an a  0 ，所以 n ， 2． 2 �1 1 1 1 1� 1  � 由 an 1  1  a � a  a  a  � � � n 1 n n n � an 2 � 4 an 2 �1 1 1� 1 1 1   �  ��   � an 1 � an 1 an 2 � an 2 � ，即 1 1 1   an 1 an 2 1 n 1 n 1 �1   2 2 ，当且仅当 n  1 时取等号， 根据累加法可得， an an a 4 n 1  an �  an 1  � n  an 2 (n  1)2 n 3 1  an 1  n 1  an1 n  1 � an n3 ， 6 an � ( n  1)( n  2) ，当且仅当 n  1 时取等号， 由累乘法可得 由裂项求和法得： 1 1 � �1 1 � �1 1 1 1 1 1 3 S100 �6 �       L    S100  3 � 6 �  � 3 101 102 � �2 102 � ，即 2 �2 3 3 4 4 5 所以 ． 故选：A． 【点睛】 本题解题关键是通过倒数法先找到 an , an 1 的不等关系，再由累加法可求得 4 an � (n  1)2 ，由题目条件可 知要证 S100 小于某数，从而通过局部放缩得到 an , an1 的不等关系，改变不等式的方向得到 最后由裂项相消法求得 S100  3 ． 2．（2011·全国高考真题（理））等比数列 （1）求数列  an  6 an � (n  1)(n  2) ， 的通项公式；  an  的各项均为正数，且 2a1  3a2  1, a32  9a2a6 . �1 � � � （2）设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列 �bn 的前 n 项和 Tn . 【答案】（1） an  1 2n  . n ；（2） 3 n 1 【分析】 （1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； 1 1 （2）由 an＝ 3n 化简 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到 bn 的通项公式，求出 bn 的通项公式，利用裂 项相消法求和. 【详解】 （1）设数列{an}的公比为 q, 由 a32 ＝9a2a6 得 a32 ＝9 a42 , 1 1 所以 q2＝ 9 .由条件可知 q＞0,故 q＝ 3 . 1 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝ 3 . 故数列{an}的通项公式为 an＝ 1 . 3n n  n  1 （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－ 1 2 1 � �1   2 �  � n  n  1 �n n  1 �. 故 bn � � 1 1 1 1 � 2n � 1 � �1 1 � �1   L   2 � 1  � �  � L  �  � � �  n  1 b1 b2 bn 2 2 3 n n  1 � �� � � � � � �1 � 2n � � 所以数列 �bn 的前 n 项和为  n  1 2 . 1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来 完成； (2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的 是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中. 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝ 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错 位相减法求解. (4)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解. 【知识拓展】 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加 (或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加 (或减 少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数 就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑 an 与 an＋ (或者相邻三项等)之间的递推关系，或者 Sn 与 Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. 1 � 1 � � � 1．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2，记数列 �an an1 的前 n 项和为 Tn，n∈N*.则使得 T20 的值为（ A． 19 39 B． 38 39 ） C． 20 41 D． 40 41 2．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝2，S7＝35，将 a3，a7，a11，a15 中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，则数列{anbn}的前 10 项的和 T10＝（　　） A．10 � 212 B．9 � 212 C．11 � 212 3．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列 数列  an  的前100 项的和等于_______． D．12 � 212  an  满足 a1  a2  2 ， an  2  an  1  cos n ，则 4．（2022·全国高三专题练习）已知  an  中， an   lg n , n �N  ，记 Tn  x  表示不超过 x 的最大整数，例如： [2.3]  2 ，  1.5  2 在数列 为数列 1．（2021·全国高三（文））已知数列  an   an  的前 n 项和，则 满足 T2021  a  an 1  an2  an  1  0 n �N * ( )，且 n 中任何一项都不为 1 ， �1 � 3a  2 S  2022 � � 设数列 �an 的前 n 项和为 S n ，若 2021 a2022  1 ，则 a1 的值为（ A． 2 3 B．1 ___________. C． 3 2 ） D．  2 3 � �  叫“费马数”（费马是十七世纪法国数 Fn  22  1  n  0,1, 2, � n 2．（2021·全国高三专题练习（文））我们把 学家）．设 an  log 2  Fn  1 ， S1  S 2  S3  � � �  Sn  2021  2n a  S n  1, 2, 3, � � � ，设数列 n 的前 n 项和为 n ，则使不等式 n 成立的正整数 的最小值是（ B． 9 A． 8 ） C．10 D． 116 3．（2022·全国高三专题练习）设数列{an}满足 a1  3, an1  3an  4n ，若 n 项和为 Sn ，则 Sn  2 � � n� 1 � A． � 6n  9 � （ bn  4 n 2  8n  5 an an1 ，且数列{bn}的前 ） 4 2n  B． 3 6 n  9 1 � � n� 1 � C． � 6n  9 � 2 � � n� 1 � D． � 6n  9 � z  1  2i  3i 2  L  2020i 2019  2021 i 2020 i 4．（2021·江苏南京师大附中）已知 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ） B． 1010 A． 1011 5．（2021·浙江高三开学考试）设 C．1010 f  x D．1011 是定义在 R 上的奇函数，满足 f  2  x  f  x ，数列  an  满足 � 1� 2 an 1  � 1 � an   n �N*  a1  1 ，且 � n� n .则 f  a22   （ ） B． 1 A．0 C．21 6．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列 的等比中项，设 bn   an  中， a3  5 ，公差大于 0，且 a4  1 是 a2  1 1  n �