高一数学《考点 • 题型 • 技巧》精讲与精练高分突破系列 (人教 A 版 2019 必修第一 册) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 考点一　一元二次不等式的概念 定义 一般形式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不 等式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中 a≠0，a，b，c 均为常数 考点二　一元二次函数的零点 二次函数 y＝ax2＋bx＋c，我们把使 ax2＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点． 考点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋ 有两个不相等的实 有两个相等的实数 bx＋c＝0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的 数根 x1，x2(x1<x2) 根 x1＝x2＝－ 解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的 解集 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 {x|x<x1，或 x>x2} {x|x1<x<x2} 没有实数根 R ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．已知集合 M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则 M∩N 等于(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 2．设集合 A． A   y|y  x 2  2 x  1, x �R {x∣ x �2} 3．不等式 B． ， B   x|x 2  1�0 {x|x �1} C． ，则 A I B  （ {x|  1 �x �1} D． ） {x|  2 �x �1} 1  2x �0 的解集是（ ） x4 A． {x | 4 �x � } 1 B． {x | x �4 或 x � } 2 1 C． {x | x  4 或 x � } 2 D． {x | 4  x � } 1 2 1 2 题型二：含参数的一元二次不等式的解法 4．已知不等式 ax 2  bx  c  0 的解集是 � 1� 3, � � A． � 2 � 1 {x |   x  2} 3 ，则不等式 cx 2 �1 � (�, 3) U �  , +�� B． �2 �  bx  a  0 的解集为（ � 1� 2, � � C． � 3 � D． ） �1 � ( �, 2) U � ,+ �� �2 � 2 2 5．已知不等式 ax  bx  2  0 的解集为 {x | 1  x  2} ，则不等式 2 x  bx  a  0 的解集为（ 1 A． {x | 1  x  } 2  x | x  2 6．已知 或 B．{ x | x  1 或 x  1 } 2 C．  x|  2  x  1 x  1 a2 ，关于 x 的不等式 ax 2  (2  a) x  2  0 的解集为（ ） ） D． � 2 �x x  a 或 x  1 A． � � 2 � �x |  x  1� B． � a C．  x x  1 或 2� 2� � x � �x |1  x  � a � D． � a 题型三：由一元二次不等式来确定参数的范围 2 7．已知不等式 ax  ax  3 �0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是（ ） A． a  12 B． 0  a  12 C． a  12 D． 0 �a  12 2  x x  a 或 x  a  2 ，则实数 m 的值是（ 8．若关于 x 的不等式 mx  6mx  24  0 的解集为 B． 2 A．1 C． 3 D． 4 1 4 9．若关于 x 的不等式 x 2  2 x  c 2  0 的解集为  a, b  ，则  的最小值为（ a b A． B． 9 9 C． 9 2 ） D．  ） 9 2 题型四：一元二次不等式恒成立问题 10．若不等式 mx2＋2mx－4<2x2＋4x 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是（ A．（－2，2） B．（－2，2] ） C．（－∞，－2）∪[2，＋∞） D．（－ ∞，2） 2 11．若关于 x 的不等式 2 x  8 x  4  a  0 在 [1, 4] 内有解，则实数 a 的取值范围是（ A． ( 4, �) B． (�, 4) C． (12, �) D． ( �, 12) � 1� x �� 0, � � 2� 12．若不等式 x  ax  1 �0 对一切 恒成立，则 a 的取值范围是（ 2 ） ） A． a �0 5 C． a � 2 B． a �2 D． a �3 题型五：一元二次不等式的应用 13．某商场若将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现准备采用提高售价来增加利润,已知 这种商品每件销售价提高 1 元,销售量就要减少 10 件.那么要保证每天所赚的利润在 320 元以上,销售价每件应定为 A．12 元 B．16 元 C．12 元到 16 元之间 D．10 元到 14 元之间 14．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的关系为 P  160  2 x ，生产 x 件所需成本 为 C（元），其中 C  500  30 x 元，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 x 的取值范围是 A． 20 �x �30 B． 20 �x �45 15．若关于 x 的不等式 A． C． x  1  x  2  a 2  2a  3,1  �, 3 � 1, � D． 15 �x �45 C．15 �x �30 有实数解，则实数 a 的取值范围为 B．  1,3 D．  �, 1 U  3, � 【双基达标】 一、单选题 1 x 16．不等式 1  x �0 的解集为（ A． {x | x �1 或 �1} B． ）  x∣  1 �x �1 C． {x | x �1 或 x  1} D． {x | 1 �x  1} 2  x | 2  x  1 y  ax 2  bx  c 17．不等式 ax  bx  c  0 的解集为 ，则函数 的图像大致为（ A． B． ） C． D． 18．设 m  n  0 ，则关于 x 的不等式  m  x  n  x  0 {x | x  m 或 x  n} 19．一元二次不等式 A． { x | x  1 或 D． ax 2  bx  c  0 的解集为 x  2} {x | x  1 ，则不等式 或 ax 2  bx  c�0 的解集为（ ） x�2} D． {x | 1�x�2 }  m  1 x 2  mx  m  1  0 1 A． m    x | m  x  n {x | 1  x  2} B． C． {x | 1  x  2} 20．不等式 ） B．  x | n  x  m A． {x | x   n 或 x  m} C． 的解集是（ B． 的解集为 �，则 m 的取值范围是（ 2 3 m� 3 C． m � 2 3 3 ） D． 2 3 2 3 m� m � 3 或 3 21．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售价每提高 1 元，日销售 量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以上（不含 400 元）的销售收入．则这批台灯的 销售单价 x （单位：元）的取值范围是（ ） A．  x 10 �x  16 B．  x 12 �x  18 C．  x 15  x  20 D．  x 10 �x  20 2 2 22．不等式 ax  4 x  a  1  2 x 对一切 x �R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ A． (�, 2) 23．要使函数 A． m  0 B． (�， 2) �(2 ， �) y  mx 2  mx  (m  1) 的值恒为负值， B． m  0 或 m  4 3 C． (2, �) m 的取值范围为（ C． m�0 或 m  4 3 ） D． m�0 ） D． (0, 2) 2 x � x | 1 �x �0  x | 1  x  3 24．已知不等式 2 x  bx  c  0 的解集是 ，若对于任意 ，不等式 2 x 2  bx  c  t �4 A． t 恒成立，则 的取值范围是（  t | t �2 B． 25．若关于 x 的不等式  t | t �2  ax  1 2  x2 ）  t | t �4 C． D．  t | t �4 恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ A．  3 4 4 3  a � 或  a � 2 3 3 2 3 4 4 3 B．   a � 或 �a  2 3 3 2 C．  3 4 4 3 �a   或  a � 2 2 3 3 D．  ） 3 4 4 3 �a   或 �a  2 2 3 3 【高分突破】 一：单选题 2 2 26．已知关于 x 的不等式  x  4 x �a  3a 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围是（ A．  a 1 �a �4 B． C．  a a �4 或 a �1 D． 27．若 A． x �R ，不等式 36   0， mx 2  mx  9  0