§2．3．2 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时） 导学目标： 1．掌握含参数的一元二次不等式的解法，渗透分类谈论的思想． 2．通过一元二次不等式的求解过程，了解分式不等式、高次不等式的解法，渗透类比 转化的思想． 3．会利用一元二次不等式求解实际问题，体会数学抽象、数学建模的学科素养． （预习教材 P50~ P54，回答下列问题） 复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格 情景：类比一元二次不等式 我们如何得到 的解法， 的解集呢？谈谈你的想法？ 【知识点一】含参数的一元二次不等式的解法 形如 ，除了主元变量 以外，还含有其他的变量（参变 量） 的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式． 规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做 到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： （1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a>0，a=0，a<0； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根( >0)，一根( =0)，无根( <0)； 在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算． （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论： ． 自我检测 1：如何得到含参数的一元二次不等式 的解集？ 【知识点二】分式不等式 形如 （其中 是常数）的不等式，称为分式不等式． 规律方法：分式不等式向整式不等式转化时一定要注意等价转化，即分母为 时的取舍． 自我检测 2：求分式不等式 的解集． 【知识点三】高次不等式 不等式的最高次项的次数高于 2 的不等式称为高次不等式，形如 、 等． 规律方法：（穿针引线） ① 将不等式化为标准形式，一端为 0，另一端为一次因式(因式中 x 的系数为正)； ② 求出各因式的实数根，并在数轴上标出； ③ 自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重 根穿而不过(奇过偶不过)； ④ 记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集（注意端点的取舍）． 自我检测 3：求高次不等式 、 等． 的解集． 题型一　含参数的一元二次不等式的解法 【例 1】解关于 x 的不等式 ． 　 题型二　分式不等式、高次不等式的解法 【例 2】解下列不等式： (1) ； (2) ． 题型三　一元二次不等式的实际应用 【例 3】国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨．按规定，农户向国家纳 税为：每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点，即 8%)．为了减轻农民负担，制 定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低 x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点． 试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的 78%． 1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 的解集为（ 2．不等式 ） A． B． C． D． 3．若 ，则不等式 的解集是（ ) A． B． C． D． 4．关于 的不等式 的解集为 _ 5．解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0． ，则关于 的不等式 的解集为 【参考答案】 复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格 情景：当 时，该不等式的解集为 ； 当 时，该不等式的解集为 ； 当 时，该不等式的解集为 【自我检测 1】 ，所以该不等式的解集同 上． 【自我检测 2】 ． ． 【自我检测 3】 ； ． 【例 1】【答案】当 a＝0 时，原不等式可化为 x>1． 当 a≠0 时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0． 当 a<0 时，不等式可化为(x－1)>0， ∵<1，∴x<或 x>1． 当 a>0 时，原不等式可化为(x－1)<0． 若<1，即 a>1，则<x<1； 若＝1，即 a＝1，则 x∈∅； 若>1，即 0<a<1，则 1<x<． 综上所述，当 a<0 时，原不等式的解集为； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为；当 a＝1 时，原不等式的解集为∅； 当 a>1 时，原不等式的解集为． 【例 2】【答案】(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0． 此不等式等价于(x－4)≥0 且 x－≠0，解得 x<或 x≥4， ∴原不等式的解集为． 【例 3】【答案】设税率调低后“税收总收入”为 y 元． y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)． 依题意，得 y≥2 400m×8%×78%， 即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%， 整理，得 x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2． 根据 x 的实际意义，知 x 的范围为 0<x≤2． 1．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 的解集为（ 2．不等式 ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若 ，则不等式 的解集是（ ) A． B． C． D． 【答案】D 4．关于 的不等式 _ 【答案】 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 5．解关于 x 的不等式 ． 【答案】对于方程 2x ＋ax＋2＝0，其判别式 Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)． 2 ① 当 a>4 或 a<－4 时，Δ>0， 方程 2x2＋ax＋2＝0 的两根为 x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)． ∴原不等式的解集为 ． ② 当 a＝4 时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1， ∴原不等式的解集为{x|x≠－1}． ③ 当 a＝－4 时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1， ∴原不等式的解集为{x|x≠1}． ④ 当－4<a<4 时，Δ<0，方程无实根， ∴原不等式的解集为 R．