6.2.2 导数与函数的极值、最值 （1） 导学案 1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系. 2．初步掌握求函数极值的方法． 3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系． 重点：掌握求函数极值的方法 难点：理解函数极值与导数的关系 1.极值点与极值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 D,设 x0∈D,如果对于 x0 附近的任意不同于 x0 的 x,都有 (1)f(x)<f(x0),则称 x0 为函数 f(x)的一个极大值点,且 f(x)在 x0 处取极大值; (2)f(x)>f(x0),则称 x0 为函数 f(x)的一个极小值点,且 f(x)在 x0 处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大, 极小值点在其附近函数值最小. 2．函数的导数与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而 且在点 x＝a 附近的左侧 f ′(x)＜0，右侧 f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做 函数 y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而 且在点 x＝b 附近的左侧 f ′(x)＞0，右侧 f ′(x)＜0，就把点 b 叫做函数 y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做 函数 y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 1．函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 一、 问题探究 问题：如图所示，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近 的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点。 观察图中函数 y=f ( x) 的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数 学语言描述。与问题 探究 1. 从图所示的函数 y=f ( x) 图像中可以看出，A，B，C，D 对应的横坐标 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 都是函数的极值点，已知曲线 y=f ( x) 在 A，B，C，D 之处都存在切线 （1）A，B，C，D 处的切线具有什么特征？这说明 f ( x) 在 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 处的导数具有什么 特点？ （2）曲线 y=f ( x) 在 A，B，C，D 附近的点处的切线具有什么特征？ 二、 典例解析 3 ’ 例 1.已知 f ( x )=x ,求所有使得 f ( x ) =0 的 x ，并判断所求得的数是否是函数的极值点。 2．函数的导数与极值 (1)极小值点与极小值 若函数 y＝f (x)在点 x＝a 的函数值 f (a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而 且在点 x＝a 附近的左侧 f ′(x)＜0，右侧 f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做 函数 y＝f (x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而 且在点 x＝b 附近的左侧 f ′(x)＞0，右侧 f ′(x)＜0，就把点 b 叫做函数 y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做 函数 y＝f (x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 1．函数 f (x)的定义域为 R，导函数 f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 例 2. 已知函数 f ( x )= 1 3 x −4 x 2+ 4 ，求函数的极值，并作出函数图像的示意图. 3 一般地，求函数 y＝f(x)的极值的步骤 1.求出函数的定义域及导数 f′(x)； 2.解方程 f′(x)＝0，得方程的根 x0(可能不止一个)； 3.用方程 f′(x)＝0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将 x，f′x，fx在每个区间内的 变化情况列在同一个表格中； 4.由 f′(x)在各个开区间内的符号，判断 f(x)在 f′(x)＝0 的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数 fx在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数 fx在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 跟踪训练 1 求下列函数的极值： (1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2. 求可导函数 y＝f (x)的极值的方法 解方程 f ′(x)＝0，当 f ′(x0)＝0 时： (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)＞0，右侧 f ′(x)＜0，那么 f (x0)是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)＜0，右侧 f ′(x)＞0，那么 f (x0)是极小值． 1.函数 f (x)的定义域为 R，它的导函数 y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) A．在(1，2)上函数 f (x)为增函数 B．在(3，4)上函数 f (x)为减函数 C．在(1，3)上函数 f (x)有极大值 D．x＝3 是函数 f (x)在区间[1，5]上的极小值点 2．设函数 f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1 为 f (x)的极大值点 B．x＝1 为 f (x)的极小值点 C．x＝－1 为 f (x)的极大值点 D．x＝－1 为 f (x)的极小值点 3．已知函数 f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是________． 4．已知函数 f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数 f (x)的极大值为______． 参考答案： 知识梳理 1． C　[设 y＝f ′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f (x)在 x＝x1，x＝ x3 处取得极大值， 在 x＝x2，x＝x4 处取得极小值．] 学习过程 一、问题探究 问题： 从图中可以看出，函数 y=f (x) 在 x 1 , x 3 , x 5 这三点对应的函数值,都是其附近的函数 值中的最大值；而在 x 2 , x 4 这两点对应的函数值,都是其附近的函数之中的最小者. 探究 1. 可以看出，曲线 y=f ( x) 在 A，B，C，D 处的切线都是水平的，这等价于 f ’ ( x1 ) =f ’ ( x2 ) =f ’ ( x3 ) =f ’ ( x 4 )=0. 而且，在 A 点与 C 点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于零，在右侧的附近曲线的切线斜率都 小于零.在 B 点与 D 点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样。 一般地，如果 x 0 是 y=f ( x) 的极值点，且 f (x) 在 x 0 处可导，则必有 f ’ ( x 0) =0 二、典例解析 例 1.解：因为 f ’ ( x ) =3 x 2 ’ 2 所以令 f ( x ) =0 ,可知 3 x 但 0 不是 f ( x )=x 3 ¿ 0 ,由此可解得 x=0 . 的极值点，因为 f ( 0 )=0 , 而 0 左侧点的函数值总是小于 0,且 0 右端的点的 函数值总是大于 0，这也可以从图中函数 f ( x )=x ’ 则“ f ( x 0) =0 是极值点 ” 的必要而不充分条件 3 ’ 的图像看出来，例 1 说明，若 f ( x 0) 存在， 例 2. 解：由题意 可得 f ' ( x )=x 2−4 ¿( x +2)( x−2) ' 令 f ( x )=¿ 0,解得： x 1=−2, x 2=2 ' 当 x 变化时， f ( x ) ， f ( x ) ，的变化情况如下表 28 ; 3 因此，当 x=−2 时， f ( x ) 有极大值，极大值为 f (−2 ) = 当 x=2 时， f ( x ) 有极小值，极小值为 f ( 2 ) =- 4 3 . 典例解析 x (−2， 2) 2 (−∞，−2)-2 f ' (x) + f ( x) 单调递增 −¿ 0 28 3 (2,+∞ ) 0 单调递减 + 单调递增 - 4 3 3 1 2 函数 f ( x )= x −4 x + 4 的图像如图所示. 3 跟踪训练 1 [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9， 令 y′＝0，即 3x2－6x－9＝0，解得 x1＝－1，x2＝3. 当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ 极小值 ↗ ↗ ↘ y 极大值 ∴当 x＝－1 时，函数 y＝f (x)有极大值，且 f (－1)＝10； 当 x＝3 时，函数 y＝f (x)有极小值，且 f (3)＝－22. (2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)． 令 y′＝0，即 5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得 x1＝0，x2＝3，x3＝5.当 x 变化时，y′与 y 的变化情况如下表： x y′ (－∞，0) ＋ y ↗ 0 0 无极 (0，3) ＋ 值 ↗ 3 0 (3，5) － 5 0 (5，＋∞) ＋ ↘ 极小值 0 ↗ 极大值 108 ∴x＝0 不是 y 的极值点； x＝3 是 y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x＝5 是 y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0. 达标检测 1. D　[由题图可知，当 1＜x＜2 时，f ′(x)＞0， 当 2＜x＜4 时，f ′(x)＜0，当 4＜x＜5 时，f ′(x)＞0， ∴x＝2 是函数 f (x)的极大值点， x＝4 是函数 f (x)的极小值点，故 A，B，C 正确，D 错误．] 2． D　[令 f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得 x＝－1.当 x＜－1 时，f ′(x)＜0；当 x＞－1 时，f ′(x)＞0. 故