上海交通大学附属中学 2020-2021 学年度第二学期 高一数学期末试卷 （本试卷共 4 页，满分 150 分，120 分钟完成.答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设复数 z 1  2i 3  4i ，则 z 共轭复数 z 的虚部是______． 的 2 【答案】 5 r r r r b a  1, 2   ，   3, 4  ，则 a 在 b 方向上的投影为______. 2. 已知向量 11 【答案】 5 3. 在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为  2,5  uuu r uuu r ，（1，4），若点 P 满足 AP  2 PB .则点 P 的 坐标为_____． 【答案】  4,3 �� 0, 4. 已知 y  sin  2 x    （其中 0 �  2 ），且在闭区间 � � 2� �上是严格减函数，则实数  的值是_____ _．  【答案】 2 r r r r r r r r 5. 设 a  2 ， b  3 ， 3a  b  6 ，则向量 a 与 b 的夹角 a, b  ______． 【答案】 arccos 1 4 uuu r r uuu r r 6. 已知向量 a   2,3  ，点 A  2, 1 ，向量 AB 与 a 方向相同，且 AB  2 13 ，则点 B 的坐标为______． 【答案】 7. 复数  2,5 sin1  i cos1 的 辐角主值是______． 【答案】 1 3 2 �  2  , 8. 函数 y  2 tan  x （常数   0 ）在开区间 � �4 3 � �上是严格增函数，则实数 的取值范围是_____ �  _． � 3� 0, � 【答案】 � � 4� uuur uuur 2AO  OB ， C 、 D 是直线 m 上的 l m O l 9. 设直线 ， 互相垂直于 ， A ， B 是直线 上的两个定点，满足 uuu r uuur uuu r uuu r 两个动点，满足 CD  2 ，若 AC � BD 的最小值是 9 ，则 AO  ______． 【答案】2 10. 设 z1 ， z2 ， z3 复平面上对应的点分别为 A ， B ， C ， z3  z2 z z   3 1 3 i ．若 z1  1 ， z2  z1 z ， 2 ，则四边形 OABC 的面积为______． 15 3 【答案】 2 11. 如图所示，半径为 1 的圆 O 内接于正方形 ABCD ，点 P 是圆 uuur uuur uuur ，则 PQ 的取值范围是______． AC 成轴对称，若 AQ  OP� O 上的一个动点，点 P� P 与 关于直线 � � 【答案】 � 2, 6 �   x f  x  �Y , x �D 为集合 Y 的原像 12. 设函数 y  f  x  的定义域为 D ．对于非空集合 Y �R ，称集合 1 集，记作 f  Y  ．设 2 � � f  x   2 sin � x  � 3 �， x � 0,   ，其中  为实常数，且   0 ．若函数 � 1 y  f  x  在集合 f   0, 2  的值域恰为闭区间  0, 2 ，则  的取值范围是______． 11 � � , �� � 【答案】 �6 � 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． � �  y  2sin � 2x  � 13. 将函数 的图像向右平移 3 � � 6 单位，再向上平移 1 个单位，所得函数图像对应的函数 表达式为（ A. C. ） � 2 � y  2sin �2 x  � 1 3 � � � � y  2sin � 2 x  � 1 3� � 【答案】D B. � 2 � y  2sin �2 x  � 1 3 � � D. y  2 sin 2 x  1 14. 如图， OM //AB ，点 P 由射线 OM ，线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 uuu r uur uuu r OP  xOA  yOB ，则实数对  x, y  可以是（ ） �1 3 � , � A. � �4 4 � � 2 2�  , � C. � � 3 3� � 1 3�  , � B. � � 4 4� �1 7�  , � D. � �5 5� 【答案】B ur uu r r ur uu r r ur uu r e e a  x e  y e b  x e  y e 1 2 1 1 1 2 ， 2 1 2 2 ，给出下列两个命题： 15. 已知 ， 是平面向量的一个基底，设非零向量 r r r r a // b � x y  x y a 1 2 2 1 ① ；②  b � x1 x2  y1 y2  0 ，则（ ） A. ①② 均正确 B. ①② 均错误 C. ① 对②错 D. ① 错②对 【答案】C 16. 设 n 是正整数，分别记方程 x n  1 、  x  1 6  1 的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为 A 与 uuuu r uuuu r Z � A OZ � OZ Z 1 2 的不同取值个数有 5 个，则 n 的值可以 B ．若存在 1 ，当 2 取遍集合 B 中的元素时，所得 是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 三、解答题（本大题共有题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤． z  z  k i ， z2  z � k i （其中 k �R ）． 17. 设复数 z  a  b i （其中 a ， b �R ）， 1 （1）设 ab 1 2 ，若 z1  z2 ，求出实数 k 的值； （2）若复数 z 满足条件：存在实数 k ，使得 z1 与 z2 是某个实系数一元二次方程的两个虚数根，求符合条 件的复数 z 的模的取值范围． 【答案】（1） 1 ；（2）  0,1 . 18. 设函数 y  f  x  的表达式为 （1）求函数 y  f  x （2）设实数 x1 ， x2 满足 � � � � f  x   2 cos �  x  �cos �  x  � 3 sin  2 x  ，其中常数   0 ． 4� � 4� � 值域； 的 x1  x2     2  ，若对任意 x �R ，不等式 f  x1  �f  x  �f  x2  都成立，求  的值以及方程 f ( x) =1 在闭区间  0,   上的解．  x 【答案】（1）  2, 2 ；（2）   1 ， x  0 或 3 或x  . 19. 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上一动点， PE 垂直 AB 于点 E ， PF 垂直 BC 于点 F ． uuur uuur uuur uuur （1）求向量 PD 与 EF 的夹角 PD, EF ； uuur uuur ur PD � PC uuur uuur   uuur 2 PC  PD uuur uuur ur （2）设 ，点 满足 PQ  PD  2 ，证明 ur uuur ，并求出当 运动时， PC Q   PC P uuur uuur PQ � EF 的取值范围． 【答案】（1） 90� ；（2）证明见解析；  1,1 . 20. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对 ur  z1 , z2   z1 , z2 �C  视为一个向量，记作    z1 , z2  ．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量 ur ur ur ur ur ur    z1 , z2  ，    z1� , z2�  的数量积定义为一个复数，记作  � ，满足  �  z1 z1� z2 z2�，复向量 ur 的 ur 模定义为   ur ur � ． ur ur ur   3, 4   1  i,i      （1）设 ， ，求复向量 ，  的模； ur ur ur ur   ； 两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即： ‫ ף‬ 是 ur ur ur ur ur ur ur ur ur      时，称复向量  （3）当 � 与  平行.设    1  i, 2  i  、    i, z   z �C  ，若复向量  与 ur ur （2）设  、  ur  平行，求复数 z 的值． 3 1 z  i 【答案】（1）   3 ；   5 ；（2）证明见解析；（3） 2 2 ． 21. 若定义域为 R 的函数 y  h  x y  h  x  满足：对于任意 x �R ，都有 h  x  2   h  x   h  2  ，则称函数 具有性质 P ． （1）设函数 y  f  x ， y  f  x y =g ( x) 是否具有性质 P ，说明理由； 与 y =g ( x) 的表达式分别为 f  x   sin x  x ， g  x   cos x ，判断函数 （2）设函数 y  f  x y  sin   x    的表达式为 f  x   sin   x    ，是否存在 0    1 以及      ，使得函数 具有性质 P ？若存在，求出  ，  的值；若不存在，说明理由； �f  0  , （3