绝密★考试结束前 宁波市 2020 学年第二学期 九校联考高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上; 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 选择题部分 一、选择题:本题共，8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.复数 z  1 i 在复平面内对应的点在第( )象限 1  2i A.一 B.二 C.三 r r r r a  (2 m, 2) b  (3, m) 2.已知 ,若 a / / b ,则 m  （ ） ， A. 3 B.  3 C. �3 D.四 D. 3 3.某小区有 500 人自愿接种新冠疫苗，其中 49 ~ 59 岁的有 140 人， 18 ~ 20 岁的有 40 人，其余为符合接种 条件的其他年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该小区 500 名接种疫苗的 人群中抽取 50 人，则从符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数是（ ） B. 18 A. 14 4.设 A.若 C. 32 D. 50   m n , 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线,下列说法正确的是（ ）     B.若 C.若 D.若 m / / m  ，  �  m ， ， ， n / / ,则 m / / ， nm ,则 n n ,则 m ，  / / n  ,则 n 5.宁波市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃 圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶 .一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶 投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（ ） 1 1 A. B. 6 9 6.如图，已知 BD 为 ABC 中 �ABC C. 的角平分线，若 1 3 BC  2 AB  2 D. 1 4 ， �ABC   ,则 uuur uuur （） BD � AC  3 A. B. 1 C. 2 D. 3 3 2 7.古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四 个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥 P  ABCD 为阳马， PA  平面 ABCD ， AB  BC  4 , PA  3 ,则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ） 41 A. 2 41 B. 4 C. 41 D. 41 8. 如 图 , 等 腰 梯 形 ABCD 中 ， AB / / CD ， AB  2 ， AD  BC  1 ， AB  CD , 沿 着 AC 把 ACD 折 起 至 ACD1 A. ,使  2 D1 在平面 ABC 上的射影恰好落在 B.  3 AB 上.当边长 C.  4 CD 变化时，点 D1 D. 的轨迹长度为（ ）  6 二、选择题:本题共 4 小题;每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9.从装有 4 个红球和 3 个白球的口袋中任取 4 个球，那么互斥而不对立的事件是（） A.恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 B.至少有 1 个白球与都是红球 C.恰有 1 个红球与恰有 1 个白球 D.至少有 1 个红球与至少有 1 白球 10.关于平面向量，下列说法正确的是（） r r a / /b A.若 ， r r b / /c ,则 r r a / /c �6 8 � r r r �, � r B.已知 a  (2,1) ， b  (3, 4) ,则 a 在 b 方向上的投影向量是 �5 5 � r a  ( ,1) r b  (1   , 2) r ,且 a r b  �(1, 2) 与 的夹角为锐角，则 uuur uuur uuur AB AD AC uuur  uuur  uuur uuu r uuur uuur uuur D.若 OA  OC  OB  OD ,且 | AB | | AD | | AC | ,则四边形 ABCD 为菱形 C.若 ， 11.已知 ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ,则下列条件能推导出 ABC 一定是锐角三 角形的是（） A. C. cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 12.正方体 A. B. a2  b2  c2 ABCD  A1B1C1D1 PC1 / / 平面 D. sin A sin B sin C   5 6 7 tan A  tan B  tan C  0 C1 PC1  BD1 1 P ,则下列正确的是（ ） 棱长为 ,若 是空间异于 的一个动点，且 ACB1 B.存在唯一一点 C.存在无数个点 P P ,使 ,使 PD1 / / B1C PD1  B1C 6 A C D.若 PA  PC ,则点 P 到直线 1 1 的最短距离为 6 非选择题部分 三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.多空题，仅对一空得 3 分. | z | 2 | zi| z �C 13.设 ,若 ,则 的最大值为________. 14.随机事件 (1)若 (2)若 B �A A 与 B A ， ,则 B 的概率分别为 P( AB )  中点，则直线 P( A U B )  ABC  A1 B1C1 BE ， P( B)  0.3 . ________; 相互独立，则 15.已知三棱柱 P( A)  0.5 与直线 AB1 ________. A1 ABC 2 AB D E AC 中，棱长均为 ,顶点 在底面 上的射影恰为 的中点 ， 为 的 所成角的余弦值为________. 3 u u r r uu r uu r uu r uu r uu r uu r uu r uu r uu r uu r uu r a � i 0 16.平面向量 ai 满足: ai  1(i  0,1, 2,3) ,且 i 1 .则 a0  a1  a2  a0  a1  a3  a0  a2  a3 的取值范围为 ________. 四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2 3 17.(10 分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产 3 4 品 A ,乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元， 该企业获得利润超过 100 万元的概率为多少. 18.(12 分)某校对 [80,90) ， [90,100] 100 名高一学生的某 次数学测试成绩进行统计 ，分成 五组，得到如图所示频率分布直方图. [50, 60) ， [60,70) ， [70,80) ， (1)求图中 a 的值; (2)估计该校学生数学成绩的平均数; （3）估计该校学生数学成绩的第 75 百分位数. 19.(12 分)在① 3(b cos C  a)  c sin B ;② ;③ b sin A  3a sin 2a  c  2b cos C 补充在下面问题中，并解答问题.在 ac 4 ,求 ABC ABC 中,内角 A , B ,C AC .这三个条件中任选一个， 2 a b c b2 3 , 的对边分别为 , , ,且满足________, 的面积.(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 20.(12 分）如图，在等腰梯形 (1)若 uuur uuur uuur AC  x AB  y AD (2)若 uuur uuur uuur AC   AP   BD ABCD 中, AB / / CD , AD  DC  CB  1 AB .点 是线段 上的动点. DC 2 P y ,求 x , 的值; ,求  的取值范围. 21.(12 分）如图，已知四边形 ABCD 是菱形， ABE 是边长为 1 的正三角形， F 为 EC 的中点，又 AE  BF , EB  BC (1)求证: AC  DF ; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值. 22.(12 分)在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC  A1 B1C1 中, E 为 B1C1 的中点.过 AE 的截面与棱 BB1 A1C1 , 分别交于 点 F ,G . V1 (1)若 F 为 BB1 的中点，求三棱柱被截面 AGEF 分成上下两部分的体积比 V2 ; 7 3 （2）若四棱雉 A1  AGEF 的体积为 12 ,求截面 AGEF 与底面 ABC 所成二面角的正弦值; S02 (3)设截面 AFEG 的面积为 S0 , AEG 面积为 S1 , AEF 面积为 S2 ,当点 F 在棱 BB1 上变动时，求 S1 S2 的取值 范围.