考点 02 函数的单调性与最值 1．（2019·全国高考真题（理））设 f  x 是定义域为 R 的偶函数，且在  0, � 单调递减，则 2 3 � 1 � � 2 � � 3 � f log  f 2  f 2 A． � 3 4 � � � � � � � � � � � 2 3 � 1 � � 3 � � 2 � log 3 � f � 2 � f � 2 � B． f � � 4� � � � � � 32 � � 23 � � 1 � f 2 � f � 2 � f � log 3 � C． � � � � � � 4� � 23 � � 32 � � 1 � 2 � f � 2 � f � log 3 � D． f � � � � � � 4� 【答案】C 【分析】 2 3 � 1 � � 2 � � 3 � log 3 �, f �2 �, f �2 � 由已知函数为偶函数，把 f � � 4 � � � � �，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】 � 1�  f �log3 � f  log3 4  Q f  x  是 R 的偶函数， ． � 4� Q log 3 4  log 3 3  1,1  20  2 又 f  x 在(0，+∞)单调递减，  2 3  3  2 2 , log 3 4  2  2 3  3 2 2， �  23 � �  32 � f log 4  f   �2 � f �2 �， 3 ∴ � � � � � 32 � � 23 � � 1 � f� 2 � f � 2 � f � log 3 �，故选 C． 4� � � � � � 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． �x 2  x  3, x �1, � f ( x)  � 2 2．（2017·天津高考真题（理））已知函数 设 ，若关于 x 的不等式 �x  , x  1. � x a �R x f ( x) � | a| 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 2 A． [ 47 , 2] 16 B． [ 47 39 , ] 16 16 C． [2 3, 2] D． [2 3, 39 ] 16 【答案】A 【解析】 不等式 x x f ( x) �  a  f ( x ) �  a �f ( x ) (*)， 为 2 2 x x 3  x 2  x  3 �  a �x 2  x  3  x 2   3 �a �x 2  x  3 当 x �1 时，(*)式即为 ， ， 2 2 2 又  x2  x2  1 x 1 47 47 x  3  ( x  ) 2  � 4 时取等号）， 2 4 16 16 （ 3 3 39 39 3 x  3  ( x  )2  � x 2 4 16 16 （ 4 时取等号）， 47 39 �a � 所以 16 16 ，  当 x  1 时，(*)式为 x  2 x 2 3 2 x 2 �  a �x   x  �a �  x 2 x， 2 x 2 x， 3 2 3 2 2 3 又  2 x  x  ( 2 x  x ) �2 3 （当 x  3 时取等号）， x 2 x 2  �2 �  2 （当 x  2 时取等号）， 2 x 2 x 所以 2 3 �a �2 ， 47 �a �2 综上 16 ．故选 A．  【考点】不等式、恒成立问题 x x x f ( x) �  a  f ( x)  �a �f ( x)  【名师点睛】首先满足 转化为 2 2 2 去解决，由于涉及分段函 数问题要遵循分段处理原则，分别对 x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 x 的范围， 利用极端原理，求出对应的 a 的范围. （1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 （2）函数 f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 （3）函数的单调定义中的 x1、x2 有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。 （4）求函数的单调区间必须先求定义域。 （5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么 定义 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 数 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区 间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 条件 结论 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M M 为最大值 M 为最小值 1．（2020·北京市十一学校高三月考）已知函数 c  f  log 0.3 2  A． C． ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ cba B． bca D． f ( x)  1 0.5 0.2 e x ， a  f  2  ， b  f  0.3  ， ） abc cab 2．（2021·千阳县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间 (0, �) 上单调递减的函数是（ ） A． f ( x)  1 | x| B． 1 f ( x)  ( ) x 3 C． f ( x)  x 2  1 3．（2020·山西高三期中（理））定义： M 1 表示函数 D．f(x)=lg|x| y  f  x 在 I 上的最大值，已知奇函数 f  x 满足 f  x  4   f  4  x  ，且当 x � 0, 4 时， f  x   x ，正数 a 满足 M  0,a  �2 M  a ,2 a  则（ ） A． M  0,a  2 B． C． a 的取值范围为  4,9 D． a 的取值范围为 4．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数 若 f [ g  x  ] �0 A． 对 (�, 3  1] x � 0,1 M  0,a  9 f  x   cos( 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ B． ( �, 0] C． [0 3  1]  6,9 2  x)  ( a  1)sin( x)  a, g ( x)  2 x  x 2 ， 3 3 ） D． (�,1  3] 5．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））下列四个命题：① ln 2  ③2 15 2 e ；② 20212020  20202021 ；  15 ；④ 3e ln 2  4 2 .其中真命题的个数是（ ）( e 为自然对数的底数， e �2.718 ) A．4 B．3 C．2 6．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）若 M，N 为函数 原点对称，则称点对(M，N)为函数 f ( x) D．1 f ( x) 图象上的两个不同的点，且 M，N 两点关于 的一个“配合点对”(点对(M，N)与点对(N，M)为同一“配合点对”).现 �x 2  2ex  m  1, x�0 � 2 (e 为自然对数的底数)，若函数 给定函数 f ( x)  � e 的图象上恰有两个“配合点对”， �x  , x  0 f ( x) � x 则实数 m 的取值范围是（ A． m�e  1 B． ） m  (e  1) 2 C． m�e 2 D． m�e2  1 �1 � x  1, x �0 g x    �2 1 7．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知函数 f x  e| x|  ，   �  x  1 ln x, x  0 � 2 若关于 x 的方程 g  f  x   m  0 � ln 2 � 0, � A． � � 2 � 有四个不同的解，则实数 m 的取值集合为（ �ln 2 � ,1� � B． � �2 �ln 2 � � C． � �2 ） D．  0,1 � 1  ex � f x  cos x （其中 为自然对数的底数） x � 8．（2021·岐山高级中学高三其他模拟（理））函数   � 1  e � � e 的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 9．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知 的是（ A． ，且 a  b ，则下列式子中正确 ） aeb  be a B． aeb  bea C． a ln b  b ln a 10．（2021·中央民族大学附属中学高三三模）已知函数 f ( x) a, b � 0, e  是奇函数；② f ( x) 是周期函数；③ 正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①②③ f ( x) 在区间 D． a ln b  b ln a f ( x )  sin x  sin( x ) (0,  ) 上有三个零点；④ C．②④ 11．（2021·吉林白山市·高三其他模拟（理））如图，函数 ；现给出如下结论：① f ( x) 的最大值为 2.其中所有 D．①④ f ( x) 的图象由一条射线和抛物线的一部分构 1 2 成， f ( x) 的零点为 2 ，若不等式 f  x  a  �f ( x )( a �0) 对 x �R 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）  � 5 3� �