第三讲 函数 知识要点 函数是初高中之间重要的桥梁，除了大家熟悉的一模二模考试中的考题外，函数还与 不等式、方程有着一定的联系，做这类题目的一般步骤为：画图，确定范围，列出不等式 （或等式），求解. 一元二次不等式的解集：   b 2  4ac 0 0 0 二次函数 y  ax 2  bx  c(a  0) 的图象 方程 ax 2  bx  c  0 的根 ax 2  bx  c  0(a  0) 有两个不等的实根 x1、x2 x  x1 或 有两个相等的实根 x  x2 x b 2a x � b 2a 的解集 ax 2  bx  c  0(a  0) x1  x  x2 无解 无实根 一切实数 无解 的解集 如果在区间（a，b）上有 f ( x)  0 f (a) �f (b)  0 ，则至少存在一个 a xb ，使得 . 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨 大的威力. 例题精讲 1. 对于每个 x，函数 y 是 函数 y 的最大值是 2. y1  2 x ， y2  x  2 ， y3  2 x  12 这三个函数的最小值.则 . k2 y 已知抛物线 y  ax 2  bx  c 与双曲线 x 有三个交点 A(3, m) 、 B(1, n) 、 .则不等式 3. ax 3  bx 2  cx  k 2  0 的解集为 2 �x  2 x, x ≤ 3, 已知函数 y  � 2 且使 成立的 x 的值恰好有三个，则 k 的值 �x  10 x  24, x  3, yk 为 . 4. 求y 5. 若二次函数 x 4  x 2  1  x 4  x 2  10 x  25 的最小值. y  ax 2  bx  c(a �0) 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和 （－1，0），则 S  a  b  c 的值的变化范围是（ 6. . ）. （A） 1  S  1 （B） 0  S  1 （C） 1  S  2 （D） 0  S  2 （1）画出 y |||| x | 3 | 3 | 3 | 的函数图象； （2）根据图象求出方程 |||| x | 3 | 3 | 3 ||||| x | 4 | 4 | 4 | 7. 已知二次函数 x ≤≤y 8. 若抛物线 y  ax 2  bx  c 2x2  的解. （其中 a、b、c 为整数且 a≠0），对一切实数 x 恒有 1 4 ，求此二次函数的解析式. y  x 2  mx  2 与连结两点 M（0，1）、N（2，3）的线段 MN（包括 M、N 两点）有两个不同的交点，求 m 的取值范围. 9. 已知 a、b、c 为正整数，且抛物线 f ( x)  ax 2  bx  c 与 x 轴有两个不同的交点 A、B. 若 A、B 到原点的距离都小于 1，求 a  b  c 的最小值. 10. 二次函数 f ( x)  x 2  ax  b ， M  max | f ( x) | x ， 1 ≤≤ 1 ，求 M 的最小值. 11. 二次函数 f ( x ) 满足：（1） f (1)  0 ；（2）对任意实数 x 有 成立，求 f ( x) x2  1 2 . 12. 问同时满足条件：（1）当 数 x ≤≤f ( x ) f ( x)  ax 2  bx  c 1 ≤≤x 1 时， | f ( x) |≤ 1 是否存在？证明你的结论. ；（2） | f (2) | 7 的二次函 13. 已知 x12  x22  x32 ≤ 1 ，求证： ( x1 y1  x2 y2  x3 y3  1)2 ≥ ( x12  x22  x32  1)( y12  y22  y32  1) 14. 已知 f ( x)  ax 2  bx  c (a �0) f ( x)  x （1）若 f ( x)  x （2）若 . . 有实根，求证： f ( f ( x ))  x 无实数根，求证： 也有实数根； f ( f ( x ))  x 也无实数根. 习题巩固 15. 求函数 y | x 2  4 x  5  x 2  2 x  5 | 的最大值. 16. 若对任意实数 x，不等式 17. 求函数 | x |≥ ax 恒成立，求实数 a 的取值范围. f ( x) | L ||| x  1| 1| 1| L  1| （2016 层绝对值符号）与 x 轴围成的闭合 图形的面积. 18. 已知实数 a、b、c 满足 abc ， a b  c 1 ， a 2  b2  c 2  1 ，求 ab 的取值 范围. 19. 求证：对一切实数 a，方程 (a 2  2a 2  7a ) x 2  (a 3  4a 2  9a  6) x  5a 2  4  0 至少有一个实根. 20. 设 a、b 是实数，二次函数 求 f (3) 21. 若方程 f ( x )  ax 2  b 满足 4 ≤≤f (1) 1 ， 1 ≤≤f (2) 5 . 的取值范围. mx 4  (m  3) x 2  3m  0 有一根小于 2 ，其余三根都大于 1 ，求 m 的取 值范围. 1 f ( x)   x 2  x x 22. 二 次 函 数 ， 若 m ≤≤ 2 n(m  n) 时 ， km ≤≤f ( x) kn(k  1) ， 求 m、n、k 应满足的条件. 23. 设 函 数 f ( x)  1 2 x  4 x  16  a x ， 当 0 ≤≤ 4 b(b  0) 时 ， 0 ≤≤f ( x) 3b ， 求 a、b. a b c   0 24. 已 知 m  2 m  1 m ， 且 a ≥ 0 ， m  0 . 求 证 ： ax 2  bx  c  0 有 一 根 x0，满足 0  x0  1 . 25. 已知 f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d 的整数 x， 26. 二次函数 f ( x) 满足 6a、2b、 a  b  c 、d 均为整数，求证：对任意 均取整数值. f ( x)  x 2  bx  c 3 时， | f ( x) |≤ 2 求 f ( x ) 的解析式. x 满足 1 ≤≤ abc 2 y  ax  bx  c y ≥ 0 27. 二次函数 满足 ， b  a ，求 b  a 的最小值. 28. 求所有的二次函数 f ( x)  x 2  ax  b …，9 的不同整数 m、n、p，使得 29. 试求实数 a、b 使得抛物线 ，a、b 为实数，且存在三个取自 1，2，3， | f ( m) || f ( n) || f ( p) | 7 y  x 2  ax  b 、 y  x 2  bx  a . 与 x 轴有 4 个交点，且 相邻两点之间的距离相等. 自招链接 30. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 1, x为理数, � f ( x)  � 0, x为无理数. � 该函数被称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数 ① f ( f ( x))  0 ② 对任意 有如下四个命题： ； x �R 恒有 f ( x )  f ( x ) ③ 任取一个不为零的有理数 T， ④ 存在三个点 f ( x) A( x1 , f ( x1 )) 、 成立； f ( x  T )  f ( x) B( x2 , f ( x2 )) 、 对任意的 x �R C ( x3 , f ( x3 )) 恒成立； ，使得△ABC 为等边三 角形.其中真命题的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 31. 如图，该函数由分段的线性函数组合而成，由于形状像很多顶帽子，被称为“ Euclid 帽子函数”. 在数学、工程等领域的插值问题中有很高的应用价值. （1）试写出其函数表达式； � 3� y   x 2  a �a  � （2）求二次函数 � 4 �与“Euclid 帽子函数”的交点个数； （3）试构造一个二次函数，使其与“Euclid 帽子函数”有且只有两个交点，且两交点的 5 7 横坐标都在 2 和 2 之间. 1. 参考答案 y 在同一坐标系内分别画出 1 、y2 、y3 的图象，进而可得函数 y 的图象，易知，当 x 2. 10 16 3 时，y 有最大值 3 . 两曲线的图象如图 3-2，若 x  0 ，则 若 x  0 ，则 ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  k2 x ，此时， x  2 . k2 x ，此时，由图象知 3  x  1 . 综上，不等式的解集为 3  x  1 或 x  2 . 3. 4. 如图 3-3，观察图象易知，直线 y=3 与函数图象恰有三个交点，即 k=3 时，使 y=k 成 立的 x 的值恰好有三个交点. y  ( x  0)2  ( x 2  1)2  ( x  5) 2  ( x 2  0) 2 . 几何意义：在平面直角坐标系中，点 ( x, x 2 ) 到点（0，1）与点（5，0）的距离之和. 原题即求：抛物线 知 5. y  x2 上的点 P 到 A(0,1) 与 B(5, 0) 的距离之和最短是多少？易 PA  PB ≥ AB  26 . 先来常规代数法. 将（0，1）和 (1, 0) y  ax 2  (a  1) x  1 y  ax  bx  c 代 入 得 ： b  a  1， c  1 ， 则 化为 2 . � a  1 4a  ( a  1) 2 �  , �在第一象限. 顶点坐标 � 2a 4a � � � a 1   0, � �