第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 学 习 导 航 教 学 过 1、了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 2、掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 3、理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 1.向量的概念及表示 (1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段 程 ① 定义：具有方向的线段． ② 三个要素：起点、方向、长度． ③ 表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以 A 为起点、B 为终点的有向线 段记作AB． ④ 长度：线段 AB 的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.　 (3)向量的表示 例题 1 ⃗a =(1,2) ， ⃗b=( ❑√ 2sin θ , − cos θ) ，且 ⃗a ⊥ ⃗b .求： 1.已知向量 （1） ¿ ⃗b ∨¿ ； （2） sin(2 θ+ π ) . 4 【答案】 （1）解：因为 ⃗ ⃗a ⊥ ⃗b ，所以 ⃗a ⋅ b=0 ⇒ ❑√2 sin θ −2 cos θ=0 sin θ=❑√ 2 cos θ ，又 sin2 θ+cos 2 θ=1 所以 2 2 2 2 cos θ+cos θ=1⇒ cos θ= √ ¿ ⃗b∨¿ √ 2 sin θ+ cos θ=❑ ❑ 2 2 1 3 √ 4 1 ❑5 + = 3 3 3 ， 2 sin θ= 2 3 （2）解：由（1） sin θ=❑√ 2 cos θ ，若 cos θ=0 ，则 sin θ=0 ，与 sin 2 θ+cos 2 θ=1 矛盾 所以 tan θ= sinθ ❑ = √2 cos θ π π π ❑ 2 sin 2 θ+cos 2 θ sin(2 θ+ )=sin 2 θ cos +cos 2 θ sin = √ ⋅ 4 4 4 2 sin 2 θ+cos 2 θ √ 2 ⋅ 2sin θ cos θ+ cos2 θ −sin2 θ = ❑√2 ⋅ 2 tan θ+1 − tan2 θ ❑ ¿ sin 2 θ+ cos2 θ 2 tan 2 θ+1 2 ❑ ¿ √ 2 ⋅ 2 ❑√ 2+ 1− 2 = 4 − ❑√ 2 2 2+1 6 【考点】向量的模，两角和与差的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用 【分析】（1）根据垂直关系和平方关系求出 cos 2 θ= 即可求得模长；（2）结合（1）的垂直关系得 tan θ= 1 3 ， sin 2 θ= sin θ ❑ = √2 cos θ 2 3 ，根据公式 ，展开 π sin(2 θ+ ) 构造齐次式求解. 4 2．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量AB的大小，称为向量AB的长度(或称模)，记作|AB|． (2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0. (3)单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若 a，b 是平行向量，记作 a∥b. 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 a，都有 0∥a． (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若 a，b 是相等向量，记作 a＝b. 例题 2 2.已知向量 ⃗a , ⃗b 是夹角为 600 （1）求 ¿ ⃗a +3 b⃗ ∨¿ ； （2）当 m 为何值时， ⃗c 与 的单位向量， ⃗d 平行？ ⃗c =3 a⃗ + 2 b⃗ , d⃗ =m a⃗ − 4 b⃗ 。 1 ⃗a ⋅ b⃗ =1× 1× cos 60 °= 2 【答案】 （1）解：由题意得 ， ¿ ⃗b∨¿2=1+3+ 9=13 ¿ a∨¿2 +6 a⃗ ⋅ b⃗ + 9 ¿ , ∴ ¿ ⃗a +3 ⃗b∨¿2=¿ ¿ ⃗ ❑√ 13 ¿ ⃗a +3 b∨¿ ∴ ⃗d （2）解：若 ⃗c ∥ 则存在实数 λ 使得 ， ⃗c =λ ⃗d ， 即 ⃗ λm ⃗a − 4 λ b⃗ 3 ⃗a +2 ⃗b=λ(m⃗a − 4 b)= ∵ ⃗a , ⃗b 不共线， ． m=− 6 { 3= λm ，解得 { 1 ． λ=− 2=−4 λ 2 m=− 6 时， ⃗c ∴当 与 ⃗d 平行 【考点】平行向量与共线向量 【分析】（1）利用向量的数量积的性质,求向量长度． （2）利用向量平行的共线定理求解决． 课时训练 1.有关向量 ⃗a 和向量 ⃗b ，下列四个说法中： ①若 ¿ ⃗a ∨¿ 0 ，则 ⃗a =⃗0 ；②若 ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b∨¿ ，则 ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b∨¿ A. 1 2.已知 ⃗a =⃗0 ，则 − a⃗ =0⃗ ；④若 .其中的正确有（ B. 2 ⃗ AB ¿⃗ AB ∨¿ 等于( ＝(3，0)，那么 A. 2 ⃗a =⃗b 或 ⃗a =− b⃗ ，则 ；③若 ⃗a /¿ b⃗ ） C. 3 D. 4 C. 4 D. 5 )． B. 3 3.有下列说法： ① 若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形 ③若 ⃗a /¿ b⃗ AB /¿ CD ， ，则 ⃗a /¿ c⃗ ．其中正确说法的个数是（ A. 0 4.已知向量 ⃗b /¿ c⃗ ；④若 ABCD ⃗ AB=⃗ CD ＝(4，－2)，向量 ，则 ¿⃗ AB∨¿∨⃗ CD ∨¿ 且 C. 2 ⃗b ⃗ AB=⃗ CD ） B. 1 ⃗a 是平行四边形，则 ＝(x，5)，且 ⃗a ∥ D. 3 ⃗b ， 那么 x 等于( )． ； A. 10 C. － B. 5 ⃗a , ⃗b 是向量，则“ ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b∨¿ 5.设 A. 充分而不必要条件 ”是“ 5 2 D. －10 ¿ ⃗a + b⃗ ∨¿∨⃗a − b⃗ ∨¿ B. 必要而不充分条件 ”的（ ） C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条 件 6.已知两点 3 4 (− , ) 5 5 A. . AB A (5,3) ， B (2,7) ，则与向量 ⃗ 3 4 ( ,− ) 5 5 B. C. ） 4 3 (− , ) 5 5 D 4 3 ( ,− ) 5 5 AB∨¿ （ ） A (0, −1) ， B (0,3) ，则 ¿ ⃗ 7.已知 A. 2 ❑ √ 10 B. 8.已知平面向量 − C. 4 D. ⃗a =(sin θ , 2019) ， ⃗b=(cos θ ,2020) ，若 ⃗a /¿ b⃗ 2019 2020 A. . 同向的单位向量是（ 2020 2019 B. C. − ，则 2019 2020 2 ❑√ 10 tan θ=¿ （ D 2020 2019 ¿ á∨¿∨ b́∨¿ 2 ， á ⋅ b́=−2 9.已知 ．若 ¿ ć − á − b́∨¿ 1 ，则 ¿ ć∨¿ ） 1 3 ， ] 2 2 A. [ D. [1 ， 3] 10.设 ⃗a0 , ⃗b0 A. a0 =⃗ ⃗ b0 D. a0 /¿ ⃗ ⃗ b0 B. 分别是与 ⃗a , ⃗b [ 1 5 ， ] 2 2 C. [2 ， 3 ] 同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ B. 答案解析 1.【答案】 B 【分析】 由零向量的定义，可知①④正确； a0 =− ⃗ ⃗ b0 C. ） ¿⃗ a0 ∨+¿ ⃗ b0∨= 2 的取值范围是（ ） 由向量的模定义，可知②不正确； 由向量共线可知③不正确. 2.【答案】 B 【分析】 因 → 为 ， AB =( 3,0 ) 所 |AB)= √3 +0 =3 → 以 ❑ 2 2 ， 3.【答案】 A 【分析】 对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确； 对于②，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ⃗b =⃗0 时， ⃗a 对于③，当 对于④，“若 ⃗ AB =⃗ CD ，则 与 ⃗c ⃗ AB=⃗ DC ，故②不正确； 可以不共线，故③不正确； ¿⃗ AB∨¿∨⃗ CD ∨¿ 且 AB /¿ CD 或 AB 与 CD 在一条直 线上”，故④不正确. 4.【答案】 D 【分析】 → 由 → 4 × 5 − ( −2 ) × x=0 解 a /¿ b 得 得 x=-10. 5.【答案】 D 【分析】 由 ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b∨¿ 得 ⃗a ⋅ b⃗ =0 ，两向量的模不一定相等，必要性不成立. 无法得到 ¿ ⃗a + b⃗ ∨¿∨⃗a − b⃗ ∨¿ ，充分性不成立；由 ¿ ⃗a + b⃗ ∨¿∨⃗a − b⃗ ∨¿ ， 6.【答案】 A 【分析】 由已知， ⃗ AB=(− 3,4) ， ¿⃗ AB∨¿ 5 ，故与向量 3 4 (− , ) . 5 5 7.【答案】 C 【分析】 因为 A (0, −1) ， B (0,3) ，所以 ⃗ AB=( 0,4) ， ⃗ AB 同向的单位向量是 AB =¿ ´ ¿ AB∨¿ ´¿ ¿⃗ AB∨¿ 4 则 . 8.【答案】 A 【分析】 ⃗a /¿ b⃗ 解:∵ ,∴ sinθ 2019 = cos θ 2020 ∴ 2020 sin θ− 2019 cos θ=0 , tan θ= ,∴ 2019 2020 . 9.【答案】 D 【分析】 ¿ ⃗b∨¿ +2 ⃗a ⋅ ⃗b=4+ 4 − 4=4 ¿ ⃗a ∨¿2 +¿ ，所以 ⃗ 2 =¿ ¿ ⃗a + b∨¿ ¿ 2 ¿ ⃗a ∨¿∨ ⃗b∨¿ 2 因为 即 ¿ ⃗a + b⃗ ∨¿ 2 ⃗c 当 ⃗a ⋅ b⃗ =−2 同向时， ¿ ⃗c −(⃗a + ⃗b)∨¿ 最小；当 ⃗c 与 最大， ¿ ⃗c − ⃗a − b⃗ ∨¿ 1 ， −1 ≤∨⃗c ∨−∨⃗a + b⃗ ∨≤ 1 ，即 1≤∨⃗c ∨≤ 3 . 所以 10.【答案】 C 【分析】 由题, 故 因为 ⃗a0 , ⃗b0 分别是与 ¿⃗ a0 ∨+¿ ⃗ b0∨¿2 ⃗a , ⃗b ， ， ⃗a + b⃗ 与 ¿ ⃗c − ⃗a − b⃗ ∨¿ 又 ， ⃗a , ⃗b 同向的单位向量,即 ,即 C 符合题意； 的方向未知,故答案为：项 A,B,D 不正确, ¿⃗ a0 ∨¿∨ ⃗ b0∨¿ 1 , ⃗a +