目 录 / contents 5 月 25 日 空间几何体 ……………………………………………………1 5 月 26 日 立体几何与空间向量…………………… ……………………22 5 月 27 日 直线与圆………………………………………………………52 5 月 28 日 圆锥曲线 ……………………………………………………69 5 月 29 日 计数原理 ………………………………………………………96 时间：5 月 25 日 今日心情： 核心考点解读—— 空间几何体 一、考纲解读 1.空间几何体的三视图与直观图（II） 2.空间几何体的表面积、体积（I） 3.球的表面积、体积（I） 4.根据三视图求空间几何体的表面积、体积（II） 二、高考预测 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般以选择题、填空题的形式出现， 考查空间几何体的三视图的识别，空间几何体的表面积、体积的计算. 2.从考查内容来看，主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积、体积 . 重点在于空间几何体的表面积、体积计算公式的正确使用，难点是如何根据三视图确定空 间几何体的结构特征. 3.从考查热点来看，空间几何体的表面积、体积问题是高考命题的热点，以空间几何体的 三视图为基准，识别该几何体，并计算其表面积、体积，通常情况下以计算体积为主，这 是高考主要的考查方式. 三、知识回顾 一、空间几何体的结构 1．多面体 几何 结构特征 体 ① 底面互相平行. 棱柱 ② 侧面都是平行四边形. ③ 每相邻两个平行四边形的公共边互 相平行. 备注 按侧棱与底面是否垂直分类，可分为 斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直 的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面 的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是 正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 棱锥 ① 底面是多边形. 三棱锥的所有面都是三角形，所以四 ② 侧面都是三角形. 个面都可以看作底.三棱锥又称为四面 ③ 侧面有一个公共顶点. 体. ① 上、下底面互相平行，且是相似图 棱台 形. 可用一个平行于棱锥底面的平面去截 ② 各侧棱的延长线交于一点. 棱锥 ③ 各侧面为梯形. 2．旋转体 几何 结构特征 体 备注 ① 圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相 平行，且底面是圆面而不是圆. ② 圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆 圆柱 柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平 行且相等. 圆柱可以由矩形绕其任一 边所在直线旋转得到. ③ 平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面， 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. ① 底面是圆面. 圆锥 ② 有无数条母线，长度相等且交于顶点. 圆锥可以由直角三角形绕其 ③ 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面 , 直角边所在直线旋转得到. 过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形. ① 圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. 圆台 ② 有无数条母线，等长且延长线交于一点. ③ 平行于底面的截面是与两底面大小都不等的 圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形. 圆台可以由直角梯形绕直角 腰所在直线或等腰梯形绕上、 下底中点连线所在直线旋转 得到，也可由平行于底面的 平面截圆锥得到. ① 球心和截面圆心的连线垂直于截面. 球 ② 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆 球可以由半圆面或圆面绕直 径所在直线旋转得到. 的半径 r 之间满足关系式: d  R r . 2 2 二、空间几何体的三视图与直观图 1．空间几何体的三视图 （1）三视图的概念 ① 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图; ② 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图; ③ 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图. （2）三视图的画法规则 ① 排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图： 正 俯 ② 画法规则 ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”； ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”. ③ 线条的规则 ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示； ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示. 侧 （3）常见几何体的三视图 常见几何体 正视图 侧视图 俯视图 矩形 矩形 长方体 矩形 正方体 正方形 正方形 正方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆 圆台 等腰梯形 等腰梯形 两个同心的圆 球 圆 圆 圆 2．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法及其规则 对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直 观图的方法，其画法规则是： ① 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对 应的 x′轴和 y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水 平面. ② 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段. ③ 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长 度为原来的一半. （2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 ① 在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再作 Oz 轴使 ∠xOz=90°，且∠yOz=90°. ② 画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或 135°)，∠x′O′z ′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面. ③ 已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴 或 z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的 位置关系相同. ④ 已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半. ⑤ 画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. （3）直观图的面积与原图面积之间的关系 S 2 2 ① 原图形与直观图的面积比为 S � ，即原图面积是直观图面积的 2 2 倍， 1 ② 直观图面积是原图面积的 2 2 = 2 4 倍. 三、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积 圆柱（底面半径为 r， 圆锥（底面半径为 圆台（上、下底面半径分别 母线长为 l） r，母线长为 l） 为 r′,r,母线长为 l） 底面面积 S底  πr 2 S底  πr 2 侧面面积 S侧  2π rl S侧  πrl 表面积 S表  2π r  r  l  S表  πr  r  l  侧面展开 图 2 S上底下底  ππ r� ,S S 侧  πl  r �  r 2 S表  π  r�  r 2  r� l  rl  2．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：  r2 四、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体  Sh (S 为底面面积，h 为高), V圆柱  πr 2 h (r 为底面半径，h 为高) 锥体 1 1 V锥体  Sh (S 为底面面积，h 为高)， V圆锥  πr 2 h (r 为底面半径，h 为高) 3 3 1 V台体  ( S �  S� S  S )h 3 (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)， 台体 1 2 V圆台  πh  r �  r� r  r 2  (r′、r 分别为上、下底面半径，h 为高) 3 2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系 3．必记结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 五、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式 设球的半径为 R，它的体积与表面积都由半径 R 唯一确定，是以 R 为自变量的函数，其 表面积公式为 4πR 2 ，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍；其体积公式为 4 3 πR . 3 2．球的切、接问题（常见结论） 1 a （1）若正方体的棱长为 a ，则正方体的内切球半径是 2 ；正方体的外接球半径是 3 2 a ；与正方体所有棱相切的球的半径是 a 2 2 ． a b h （2）若长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则长方体的外接球半径是 1 2 a  b2  h2 ． 2 6 （3）若正四面体的棱长为 a ，则正四面体的内切球半径是 12 6 径是 4 a ；与正四面体所有棱相切的球的半径是 a ；正四面体的外接球半 2 a 4 ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的 直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高． 四、应试技巧 1.空间几何体的三视图、直观图 (1)空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图，其特点是从空间几何体的正面、左面、 上面用平行投影的方法来得到相应的视图，其处理原则是 “长对正、宽相等，高平齐”. (2)由三视图画空间几何体的直观图时，可以先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正 视图和侧视图确定空间几何体的的形状，并根据斜二测画法画出空间几何体 .注意可见的 轮廓线画成实线，存在但不可见的轮廓线画成虚线. 2.空间几何体的表面积、体积问题 (1)空间几何体的表面积的计算方式是： i)若是多面体，则分别计算每个面的面积，然后相加即得表面积； ii)若是旋转体，则将侧面的曲面进行展开，计算其面积，再加上底面面积，即得表面积. (2)柱体、锥体、台体的体积计算公式（ S , S � 为底面面积， h 为高）： 1 1 � � V柱体  Sh ， V锥体  3 Sh ， V台体  3 ( S  SS  S )h . 3.根据三视图求简单几何体或组合体的表面积、体积 解决与三视图有关的简单几何体或组合体的表面积、体积问题时，首先要根据三视图确定 简单几何体或组合体的形状，若是简单几何体，则只需根据相应的表面积、体积计算公式 计算即可；若是组合体，常将组合体割补为几个简单的几何体进行求解.求解时注意还原 的准确性和数据的准确性. 长方体或正方体是研究三视图的最好的母体，通常可以借助