8.6.2　空间直线、平面的垂直 【知识点一】异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任意一点 O 分别作直线 a′∥a，b′∥b，则异面直线 a 与 b 所 成的角(或夹角)就是直线 a′与 b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当 θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. 【知识点二】直线与平面所成的角 斜线 斜足 有关概念 与平面 α 相交，但不和平面 α 垂 对应图形 直，图中直线 PA 斜线和平面的交点，图中点 A 过斜线上斜足以外的一点向平面 引垂线，过垂足和斜足的直线叫 射影 做斜线在这个平面上的射影，图 中斜线 PA 在平面 α 上的射影为 直线 AO 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中 直线与平面所成的角 取值范围 【知识点三】二面角 ∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90°；一条直线和 平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 设直线与平面所成的角为 θ，0°≤θ≤90° (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　 (4)记法：二面角 α－l－β 或 α－AB－β 或 P－l－Q 或 P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有① O∈l；② OA⊂α，OB⊂β；③ OA⊥l，OB⊥l，则二面角 α－l－β 的平面角 是∠AOB. 【 例 1-1 】 (求 异面 直线 所成 的角 )在 空间 四边 形 ABCD 中 ， AB ＝CD ，且 AB 与 CD 所 成锐 角为 30°，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小． 【变式 1】如图，在四棱锥 E 为 AP P  ABCD 的中点，则异面直线 2 A． 5 PC 与 中， DE PA  平面 ABCD ，四边形 所成的角的正弦值为（ 15 5 B． 5 C． 5 ABCD 为正方形， PA  AB ）． 10 D． 5 【变式 2】如图，点 P，Q 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 AD1，BD 的中点，则异面直线 PQ 和 BC1 所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【例 2-1】（直线与平面所成的角）在三棱柱 ABC  A1 B1C1 BC1 ^ AC 中， �BAC  90� ， ，且 ， AC  1 BC ，则直线 B1C1 与平面 ABC1 所成的角的大小为（　　） 2 A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式 1】　如图所示，AB 是圆柱的母线，BD 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上一点，且 AB＝ BC＝2，∠CBD＝45°，求直线 BD 与平面 ACD 所成角的大小． 【变式 2】 如图，已知∠BOC 在平面 α 内，OA 是平面 α 的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB ＝OC＝1，BC＝，求 OA 与平面 α 所成的角的大小． 【例 3-1】（概念的理解）有下列结论： ① 两个相交平面组成的图形叫作二面角； ② 异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 所成的角与这个二面角的平面角相等或互 补； ③ 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角； ④ 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 【例 4-2】如图，已知 Rt△ABC，斜边 BC⊂α，点 A∉α，AO⊥α，O 为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝ 45°，求二面角 A－BC－O 的大小． 【变式 1】如图，三棱台 A  BB1  C 的大小是（ ABC  A1B1C1 ） 的下底面是正三角形 AB  BB1 ， B1C1  BB1 ，则二面角 A．30° B．45° 【变式 2】长方体 的大小为（ A．  ABCD  Ai B1C1 D1 C．60° D．90° AA  1 A  BD  C1 中， AB  BC  2 ， 1 ，则二面角 1 的余弦值 ） 6 3 1 B．  3 6 1 C． 3 D． 3 课后练习题 1．在底面为正方形的四棱锥 AC A． 所成的角为（ B． A 成角的大小为（ 中， PA  底面 ABCD ， �PDA  45� ，则异面直线 PB 与 ） 90� 2．如图所示， P  ABCD ， B ） 60� C． 为正方体的两个顶点， M 45� ， N D． 30� 为其所在棱的中点，则异面直线 AB 与 MN 所 A．30° B．45° 3．如图，已知四棱锥 C．60° P  ABCD �DCP  �DAB  60o ， ，底面 ABCD AD  1, PC  4 D．90° 为平行四边形，平面 PCD  平面 ABCD ， ． （1）求证： AD  PB ； （2）求 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 4．如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA 的中点，平面 PAB  平面 PA  PB  AD  CD  ABCD ． 1 BC  2, AD / / BC , AD  CD ，E 是 2 （1）证明： （2）求直线 PB  CE CE ； 与平面 5．已知斜三棱柱 PBC 所成的角的余弦值． ABC  A1 B1C1 的侧面 A1 ACC1 AB 中点， A1C 与 AC1 相交于点 O ． （1）求证： OD / / 平面 （2）求直线 A1 B C1CBB1 ； 与底面 ABC 所成角的大小. 与底面 ABC 垂直， �ABC  90o, AA1  A1C  AC .且 D 为 6.如图，在长方体 （1）证明： ABCD  A1 B1C1 D1 AC1 // 中，底面 ABCD 是正方形， AA1  2 AB ，E为 CC1 的中点. 平面 BDE ； ACC1 （2）证明：平面 BDE  平面 ； （3）求二面角 E  BD  C 7．如图，四棱锥 ABCD P  ABCD ，O､E 分别是棱 （1）求证： 的大小. OE // 平面 中， CD PA PBC ､ ； PC  PD  DC  2 AD 的中点. ，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD  平面 （2）求二面角 P - AB - C 的大小.  �CC1B1  ABC  A B C 8．如图，三棱柱 1 1 1 的棱长均相等， 3 ，平面 ABC  平面 BCC1B1 ， E , F 分别为棱 A1 B1 （1）求证： 、 BC 的中点. BE / / （2）求二面角 平面 A1 FC1 F  A1C1  B1 ； 的大小. 8.6.2　空间直线、平面的垂直 【知识点一】异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任意一点 O 分别作直线 a′∥a，b′∥b，则异面直线 a 与 b 所 成的角(或夹角)就是直线 a′与 b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当 θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. 【知识点二】直线与平面所成的角 斜线 斜足 有关概念 与平面 α 相交，但不和平面 α 垂 对应图形 直，图中直线 PA 斜线和平面的交点，图中点 A 过斜线上斜足以外的一点向平面 引垂线，过垂足和斜足的直线叫 射影 做斜线在这个平面上的射影，图 中斜线 PA 在平面 α 上的射影为 直线 AO 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中 直线与平面所成的角 取值范围 【知识点三】二面角 ∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 90°；一条直线和 平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 设直线与平面所成的角为 θ，0°≤θ≤90° (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　 (4)记法：二面角 α－l－β 或 α－AB－β 或 P－l－Q 或 P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有① O∈l；② OA⊂α，OB⊂β；③ OA⊥l，OB⊥l，则二面角 α－l－β 的平面角 是∠AOB. 【 例 1-1 】 (求 异面 直线 所成 的角 )在 空间 四边 形 ABCD 中 ， AB ＝CD ，且 AB 与 CD 所 成锐 角为 30°，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小． 【解析】如图所示，取 AC 的中点 G，连接 EG，FG， 则 EG∥AB 且 EG＝AB， GF∥CD 且 GF＝CD，由 AB＝CD 知 EG＝FG， 从而可知∠GEF 为 EF 与 AB 所成角，∠EGF 或其补角为 AB 与 CD 所成角． ∵AB 与 CD 所成角为 30°，∴∠EGF＝30°或 150°， 由 EG＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°， 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°， 故 EF 与 AB 所成角的大小为 15°或 75°. 【变式 1】如图，在四棱锥 E 为 AP P  ABCD 的中点，则异面直线 2 PC 与 中， DE PA  ABCD ，四边形 所成的角的正弦值为（ C． 5 ABCD 为正方形， PA  AB ）． 15 5 B． 5 A． 5 平面 10 D． 5 【答案】D 【解析】连 因为 E 为 AC AP ， BD 相交于点 的中点， O 为 AC O ，连 OE 、 的中点，有 BE ， PC //OE 角，不妨设正方形中， AB  2 ，则 PA  2 ， ，可得 �OED 为异面直线 PC 与 DE 所成的 ， 由 PA  平面 ABCD ，可得 则 BE  DE  1  4  因为 BE  DE ， O 为 PA  A