小题压轴题专练 30—三角（4） 一、单选题 1．若 sin   cos   1 ， ，则 sin 2  cos 2  ( 　　 ) 3 0   8  17 9 B． 解：因为 sin   cos   1 ①， 3 A． 所以 1  2sin  cos   8 � 17 9 C． 8  17 9 D． 8  17 9 1 8 ，即 2sin  cos   sin 2   ， 9 9 2 所以 1  2sin  cos   (sin   cos  )  17 ， 9 因为 sin  cos   0 且 0     ， 所以 sin   0 ， cos   0 ， 故 sin   cos   ① �② 可得， 17 3 ②， cos 2  sin 2  cos 2   17 9 ， 8 17 8  17 sin 2  cos 2     所以 9 9 9 ． 故选： D ． 2．已知 ABC 内角 A ， B ， C a b c c 3 ABC 所对的边分别为 ， ， ，若 ， 的面积等于 1 c(a sin A  b sin B  c sin C ) ，则 的取值范围是 ( 　　 ) ab 2 A． (2 ， 3] 解：Q ABC 的面积为  B． ( 3 ， 3] C． (3 ， 2 3] 1 1 ac sin B  c( a sin A  b sin B  c sin C ) ， 2 2 D． ( 3 ， 2 3]  ab  a 2  b 2  c 2  cos C  a 2  b2  c 2 ab 1   2ab 2ab 2 ， Q0C  C  ， ，  ， 3 又 ，由正弦定理 Qc  3 a b   sin A sin B  a  b  2sin A  2sin B  2sin A  2sin( Q A �(0, 3 3 2 2 ，可得 a  2sin A ， b  2sin B ， 2   A)  3 cos A  3sin A  2 3 sin( A  ) ， 3 6 2   5  1 ) ， A  �( ， ) ，可得 sin( A  ) �( ， ， 3 6 6 6 6 2 1]  a  b  2 3 sin( A   ) �( 3 ， 2 3] ． 6 故选： D ． 3．在  A ， 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，已知 ABC a b c AC 3 A B C D AD  5 ， BD  7 ， c sin B  b cos A．8 解：如图，在 C ，则 BC  ( 　　 ) 2 B．10 ABD 中， A  C．  ， AD  5 ， BD  7 ， 3 2 2 2 AD cos 由余弦定理可得， BD  AD  AB  2 AB � 因为 c sin B  b cos  ，得 AB  8 ， 3 C ， 2 由正弦定理得 sin C sin B  sin B cos 得 2sin 8 3 C C C cos  cos ， 2 2 2 C C ，得 sin C  cos ， 2 2 D． 10 3 由 0  C   ，可得 cos 得 sin 所以 C 0， 2 C 1  ， 2 2 C    ，C  ， 2 6 3 所以三角形 ABC 为等边三角形，即 BC  8 ． 故选： A ． 4 ． 在 ABC 中 ， 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c ． 若 a sin A  2c sin C  2b sin C cos A A．  6 B． ，则角 A ( ) 的最大值为 　　  4 C．  3 解：因为 a sin A  2c sin C  2b sin C cos A ， 由正弦定理可得， 所以 cos A  a 2  b 2  c 2  2bc cos A 2a 2  b 2  c 2 ②， ， 2 2 2 所以 cos A  b  c  a  2bc 因为 ， a 2  2c 2 2bc ①， 由余弦定理可得 由①②可得 a 2  2c 2  2bc cos A 1 b 2  c 2  (b 2  c 2 ) b 2  3c 2 ， 2  2bc 4bc b 2  3c 2�2 b2 � 3c 2  2 3bc ，当且仅当 b  3c 时取等号， D． 2 3 2 3bc 3 cos A�  4bc 2 ，又 A �(0,  ) ， 所以 所以角 A 的最大值为  ． 6 故选： A ． 5． ABC ABC 的内角 的面积为 A ， B ， C 的对边分别为 A．2 B． 解：由正弦定理知， 2 3 C．4 ，即 c ，且 c cos A  (3b  a ) cos C ．若 D．12 sin C cos A  sin A cos C  3sin B cos C Q sin C cos A  sin A cos C  sin( A  C )  sin B ， ， ， 又 sin B �0 ， cos C  1 ， 3  sin C  1  cos 2 C  的面积为 ， ，  sin C cos A  (3sin B  sin A) cos C Q ABC b a b c   ， sin A sin B sin C Q c cos A  (3b  a ) cos C Q C �(0,  ) ， ， ( ) c ，则 的最小值是 　　 3 2  sin B  3sin B cos C a 3 2 2 2 3 ， ， 1 1 2 2 ab sin C  ab � 3 2 2 3 ，即 ab  9 ， 2 2 4 2 2 2 2 2 由余弦定理知， c  a  b  2ab cos C  a  b  ab� ab  12 ，当且仅当 a  b  3 时， 3 3 等号成立，  c�2 3 ． 故选： B ． 6 ． 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 点 D 满 足 1 uuur uuur cos �ABC  ，则 的最大值为 ( 　　 ) CD  2 DA, BD  2 ，若 2c  a 4 12 5 A． 5 6 5 B． 5 解：由题意可得： uuur uuur uuur BD  BC  CD 则，① 因为 �2  可得 ，① uuur uuu r uuur uuur uuur 3BD  2 BA  BC  2 AD  CD ，可得 两边平方，可得： 所以： D． 3 5 ，② ②可得 uuur uuur CD  2 DA uuur uuu r uuur BD  BA  AD C． 5 uuur uuu r uuur 3BD  2 BA  BC ， ， uuur uuu r uuu r uuur 9 | BD |2  4 | BA |2  | BC |2 4 BA � BC uuu r uuur 18  4c 2  a 2  4 | BA | � | BC | � cos �ABC 18  4c 2  a 2  ac ， ， ， 3 2 2c � a， 可得 18  (2c  a) 2  3ac ，即 18  (2c  a )  � 2 因为 2ac�( 2c  a 2 ) ，（由 2c  a�2 2 ac 得出），当且仅当 a  2c 时等号成立， 2 2 所以 (2c  a)  18  3 3 2c  a 2 � 2c �� a ( ) ， 2 2 2 3 2 2 令 2c  a  t ，则 t  18� t ，且 t  0 ， 8 12 5 12 5 0  t� a  2 c 2c  a 解得 5 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 5 ． 故选： A ． 7．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边 a ， b ， c 依次成等差数列， ABC 的周长为 15， 且 (sin A  sin B ) 2  cos2 C  1  sin A sin B A． 13 14 B． ，则 11 14 cos B  ( C． 　　 ) 1 2 D．  1 2 解：由于 a ， b ， c 依次成等差数列， 所以可设 a  x ， b  x  d ， c  x  2d ，由于 ABC 的周长为 15，可得： x  d  5 ， 因 为 (sin A  sin B) 2  cos 2 C  sin 2 A  2sin A sin B  sin 2 B  1  sin 2 C  1  sin A sin B sin 2 A  sin A sin B  sin 2 B  sin 2 C  0 所以由正弦定理可得 可得 cos C  ， a 2  b 2  c 2  ab ， a 2  b2  c 2 ab 1 x 2  52  (5  d ) 2 1    2ab 2ab 2 ，即 2 �x �5 2， 将 d  5  x 代入到上式中，解得： x  3 ， d  2 ， a  3 ， b5 ， c7  由余弦定理可得： 故选： B ． ， cos B  a 2  c 2  b 2 9  49  25 11   2ac 2 �3 �7 14 ． ， 即 8．在 2 B 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， ， b2 3， ABC C a b c 3 A B b 2  c 2