2021 年高考数学复习之专题突破训练《专题四：三角函数》 考点卡片 1．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 θ，则： （1） （2） ＝ ＝| |cosθ； ⇔ ＝0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当 ， 方向相同时， ＝| |2 或| |＝ 特别地： （4）cosθ＝ （5）| ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |； （用于计算向量的模） （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） |≤| || | 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘向量的结合律：（λ ）• ＝λ（ （3）分配律：（ ）• ≠ •（ ）＝ •（ ）； ） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2＝ 2 ±2 • + 2 ．②（ ﹣ ）（ + ）＝ 2 ﹣ 2 ．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是 相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“ ④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| ⇒ ”类比得到 ”； |＝| |•| |”； ⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ⑥“ ”； ）• ＝ ”； ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn＝nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”； ⇒ ”， 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ 故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ 故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| ”；向量的数量积不满足消元律， ⇒ ”；| |≠| |•| |，故“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（ m•n）t ＝m（n•t）”不能类比得到“（ ”不能类比得到 ”；向量的数量积满足分配律， ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消元律，故 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点， 题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 2．象限角、轴线角 【知识点的认识】 在直角坐标系内讨论角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第 几象限，就认为这个角是第几象限角． （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （ 3 ） 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 连 同 角 α 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合 S ＝ {β|β ＝ α+k•360°，k∈Z}． 【命题方向】 已知 α 是第二象限角，那么 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 【分析】用不等式表示 α 是第二象限角，将不等式两边同时除以 2，即得 （用不等式表示的），分别讨论当 k 取偶数、奇数时， 解：∵α 是第二象限角，∴2kπ+ ∴kπ+ ＜ ＜kπ+ 的取值范围 所在的象限． ＜α＜2kπ+π，k∈z， ，k∈z， 当 k 取偶数（如 0）时， 是第一象限角，当 k 取奇数（如 1）时， 是第三象限角， 故选 D． 【点评】本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想． 【解题方法点拨】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角，第一 类是象限角，第二类、第三类是区间角． （2）角度制与弧度制可利用 180°＝πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必 须一致，不可混用． （3）注意熟记 0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 3．弧长公式 【知识点的认识】 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α（rad），半径为 r，则 l＝rα，扇形的面积为 S＝ lr＝ r2α． 【命题方向】 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（　　） A．2 B． C．2sin1 D．sin2 【分析】解直角三角形 AOC，求出半径 AO，代入弧长公式求出弧长的值． 解：如图：∠AOB＝2，过点 0 作 OC⊥AB，C 为垂足，并延长 OC 交 于 D， ∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝ AB＝1， Rt△AOC 中，AO＝ 从而弧长为 α•r＝ ＝ ， ， 故选 B． 【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径 AO 的值，是解决问题 的关键． 【解题方法点拨】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数求最值 的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：① l＝αR；② S＝ lR；③ S＝ αR2．其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， α（0＜α＜2π）为圆心角，S 是扇形面积． 4．扇形面积公式 【知识点的认识】 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 α（rad），半径为 r，则 l＝rα，扇形的面积为 S＝ lr＝ r2α． 【命题方向】 扇形的周长为 6cm，面积是 2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　） A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4 【分析】设出扇形的圆心角为 αrad，半径为 Rcm，根据扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数． 解：设扇形的圆心角为 αrad，半径为 Rcm， 则 ，解得 α＝1 或 α＝4． 选 C． 【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题． 【解题方法点拨】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷． （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数求最值 的方法确定相应最值． （3）记住下列公式：① l＝αR；② S＝ lR；③ S＝ αR2．其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， α（0＜α＜2π）为圆心角，S 是扇形面积． 5．任意角的三角函数的定义 【知识点的认识】 任意角的三角函数 1 定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P（x，y），那么 sin α＝y，cos α＝ x，tan α＝ ． 2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余 弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）． 【命题方向】 已知角 α 的终边经过点（﹣4，3），则 cosα＝（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值． 解：∵角 α 的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝ ∴cosα＝ ＝ ＝5． ＝﹣ ， 故选：D． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 【解题方法点拨】 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x；（2）纵坐标 y；（3）该点到原点的 距离 r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况 （点所在象限不同）． 6．三角函数的恒等变换及化简求值 【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量 x 数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较 小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性． 【公式】 ① 正弦函数有 y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（ +x）＝sin（ ② 余弦函数有 y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（ ③ 正切函数有 y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（ ④ 余切函数有 y＝cot（ ﹣x）＝cosx ﹣x）＝sinx ﹣x）＝cotx， ﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx． 【例题解析】 例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　 解 ： ， ， ， ∴原式＝ ． 先利用诱导公式把 sin（﹣420°）和 cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角 的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一 定要是恒等变换． 【考点点评】 本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认 真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简 单的． 7．同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系： ＝tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中 k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α． 公式五：sin（ ﹣α）＝cosα，cos（ 公式六：sin（ +α）＝cosα，cos（ ﹣α）＝sinα． +α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：