河北省“五个一名校联盟”2021 届高三第二次诊断考试 数学 命题单位：保定市第一中学 试卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。     A  x x  1 ，B  x x  x  6  0 ，则如图所示阴影区域表示的集合为（ 1．已知全集 U  R ，集合 ） 2 A．  x  2  x  1 B．  x  3  x  1 （） a  bi 2．已知正实数 a，b 满足 A． 4  3i B． 4  3i 2 C．  7  24i  x  2 �x  1 ，则复数 C． 3  4i a  bi 为（ D．  x  3 �x  1 ） D． 3  4i BC  2 3．在三棱锥 S  ABC 中，M ， N 分别是 SB，AC 的中点，若 SA  4，， SA 所成的角为（ A． 30� ） B． 45� C． 60� D． 90� � � tan �   � 17 4．若 ，则 sin 2 的值为（ � 4� 4 A． 9 5．直线 4 B． 9 8 C． 9  y  kx k2 B． 1  k 2 C．1 ） 8 D． 9  （）（） x 1 2  y 1 2  1 与圆 1 A． 1  k 2 MN  BC ，则 MN 与 uuuu r uuur OM � ON  （ 交于 M、N 两点，O 为坐标原点，则 ） D．2 6．甲、乙、丙、丁四人过桥，一次最多能过两个人，四人只有一把手电（在桥上行走时需携带且打亮）， 手电照明时间仅能维持二十分钟，每个人单独过桥所需的时间分别为 1 分钟、2 分钟、5 分钟、10 分钟， 则四人全部过桥的最短时间为（若两人同时过桥，必须相伴同行）（ A．16 分钟 B．17 分钟 C．18 分钟 ） D．19 分钟  （） p  0 的焦点 F 作倾斜角为 3 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 A 在第一象限，则 7．过抛物线 y  2 px 2 AF  FB （ A．2 ） B．3 C．4 D． 3 8．已知 x 1 （）（）（） f x  x 2  a  1 xe x 1  a  1 e2（） �1 1�  , � B． � � 2 2� A．（，） 1 e C．  0,1 恰有三个不同零点，则实数 a 的取值范围为（ ） � 1� 1, � D． � � 2� 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．已知函数 A． f  x （）， f x  sin 2 x  2 3 sin x cos x  cos 2 x x �R ，则下列说法正确的是（ 在区间 ）  0,   上有 2 个零点 � � ,0� B． � 为 f  x  的一个对称中心 12 � � C． �2 � �2 � f �  x � f �  x � �3 � �3 � � � 11 g  x   2 cos �x  �  D．要得到 的图像，可以将 图像上所有的点向左平移 y  （） f x 4 � � 12 个单位长度，再 1 将横坐标缩短到原来的 2 10．已知数列  an  满足 a1  10，a5  2 ，且 an 2  2an1  an  （） 0 n �N  ，则下列结论正确的是（ ） 30, n �5 � A． a  12  2n n C． an B． a1  a2  a3  �  an  � n 2  5, n  5 � 的最小值为 0 11．已知函数 （） f x D．当且仅当 n  5 时， 的定义域为 R，满足 a1  a2  a3  �  an 取最大值 30 （）（），（）（） f x2  f x6 f x 2  f 6 x ，当 0 �x �2 时， f  x   2x2  x A． ，则下列说法正确的是（ （）（） f 2021  f 1 B．函数 f x 的最大值为 6 C．当 0 �x �6 时， （） 12．已知椭圆 C: ） （） f x2 是偶函数 1 f x 的最小值为 4 D．当 6 �x �8 时， （）  x2 y 2  1 VPF1 F2 的面积为 S， 上有一点 P， F1、F2 分别为左、右焦点， �F1 PF2  ， 16 9 则下列选项正确的是（ ） S 3 3 A．若   60� ，则 B．若 S  9 ，则   90� � 9 7� S � 0, � � C．若 为钝角三角形，则 � � VPF1 F2 � 4 � D．椭圆 C 内接矩形的周长范围是 20  12， 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．五位同学站成一排，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能相邻，且女生甲不能排第一个，那 么所有的排列总数为____________．（用数字作答） 14．某大学 2013 年在校本科生 4500 人，研究生 500 人，预计在今后若干年内，该学校本科生每年比上一 年增长 12.5% ，研究生每年比上一年增长 50% ，则从_______年开始该校研究生的人数占该校本科生和研 究生总人数比例首次达到 50% 以上．（参考数据： lg 2  0.3010， 1g 3  0.4771 ） uuur uuur uuuu r r 2 MA  3 MB  4 MC  0 ，则 SVMAC : SVMAB  ________． V ABC 15．点 M 在 内部，满足 16．设双曲线 PA1 x2  y2  1 的左右顶点分别为 的斜率之积为__________．若 A1、A2 ，与 �A1 PA2  3�PA1 A2 A2 ，则 不重合的点 P 在其右支上，则直线 �PA1 A2 PA2 与直线 的大小为___________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ．（ 10 分 ）在 ① VABC 的面积 S  a  b   sin A  sin B    b  c  sin C （） c cos A  a cos C  b  0 ；③ ；② 2 cos A 3 2 （） a  b 2  c 2 三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问 4 题。 已 知 VABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， _________ ， D 是 边 BC 上 的 一 点 ， 且 AD  2，， AC  4 sin C  21 14 ，求线段 BD 的长． n 2  5n S  18．（12 分）数列  an  的前 n 项和为 S n ，且 n 2 ，等比数列  bn  满足 b2  a2，b3  a6 ． （1）求数列  an  与  bn  的通项公式； �1 � （2）若 c  log b ，求数列 �a c �的前 n 项和。 �n n n 2 n 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P  ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 是 等 腰 梯 形 ， AB / / DC, BC  CD  AD  2 ， 平面 ABCD ． （1）证明： PD  平面 ABCD ； AB  4 ，M，N 分别是 AB，AD 的中点．且 PD  NC ，平面 PAD  2 （2）已知三棱锥 D  PAB 的体积为 3 ，求二面角 C  PN  M 的余弦值． 2 x2 y2 E :（）   1 a  b  0 2 2 20．（12 分）已知椭圆 a 的离心率为 2 ，一顶点坐标为 A 0, 2 2 ． b   （1）求椭圆的标准方程； uuuu r uuur AM  AN ，判断直线 MN 是否过定点？若过定点，求出此 （2）已知 M、N 为椭圆上异于 A 的两点，且 点坐标． 21．（12 分）某中学有高一和高二两个乒乓球队，每队各 9 人．两队在过去的九场单打对抗赛中，比赛结 果统计数据如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 比赛结果 高二胜 高二胜 高一胜 高二胜 高一胜 高二胜 高二胜 高一胜 高二胜 两队队员商量下一次单打对抗赛的比赛形式，提供了三种方案： （1）双方各出 3 人，比三局； （2）双方各出 5 人，比五局； （3）双方各出 7 人，比七局． （以上表中的高二队战胜高一队的频率作为高二队战胜高一队的概率）三种方案均以比赛中获胜局数多的 一方获胜．问：对高一年级来说，哪种方案获胜率更高？你能得出什么结论？ 22．（12 分）已知函数 （）（）， f x  xe x 1  a ln x  1 a �R ． f x 在区间  1, +� 上单调递增，求实数 a 的取值范围． （1）若函数 （） （2）当 a  2 时，求证： （） f x �x 2  2 x ． 河北省“五个一名校联盟”2021 届高三第二次诊断考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，