10.4 复数习题课 本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数 不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数 i， 复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯 虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二部分，介绍了复数代数形式的加、减、乘、 除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式 .第三部分，引入了复 数的三角形式，赋予了复数的乘法、除法几何意义，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理 “数”和用“数”来帮助处理“形”的工具. 考点 教学目标 核心素养 复数的相关概念 通过习题课进一步掌握复数、 数学抽象、数形结合 虚数、纯虚数、共轭复数、实 部、虚部、复数相等、复数的 模等相关概念 复数的加法和减法及几何意义 通过习题课进一步掌握复数的 数学运算、数形结合 加法和减法运算法则，运算律 和几何意义 复数的乘法和除法 通过习题课进一步掌握复数的 数学运算 加法和减法运算法则及运算律 复数的三角形式、三角形式的 通过习题课进一步掌握复数的 的乘法和除法及几何意义 三角形式及三角形式的乘法、 除法运算和几何意义 数学运算、数形结合 【教学重点】 复数的相关概念、复数的加法和减法及几何意义、复数的乘法和除法、复数的三角形式的乘法和除法及几 何意义 【教学难点】 复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义 考点 1：复数的相关概念 1．虚数单位 i：(1)i2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数的运算律． 2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中 a 叫实部，b 叫虚部． 3．复数的分类 复数 z＝a＋bi(a、b∈R)中， z 是实数⇔b＝0，　z 是虚数⇔b≠0 z 是纯虚数⇔. 4．a＋bi 与 a－bi(a、b∈R)互为共轭复数 5.复数相等的条件：a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c 且 b＝d. 特别 a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0 且 b＝0. 【典型例题】 例 1. 实数 m 取什么数值时，复数 z  m 2  1  (m 2  m  2)i 分别是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】（1） 解：(1)当 (2)当 (3)当 m  2或m  1 m2  m  2  0 m 2  m  2 �0 m2  1  0 ，且 ，即 ，即 ；（2） m �2且m �1 m  2或m  1 m �2且m �1 m 2  m  2 �0 ；（3） m 1 . 时，复数 z 是实数； 时，复数 z 是虚数； 时，即 m 1 时，复数 z 是纯虚数. 例 2. 欧拉公式 eix  cos x  i sin x i ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域 扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学  i 中的天桥”，根据欧拉公式可知， e 3 表示的复数的虚部为（ ） 1 1 A． 2 B． 2 i 3 3 C． 2 D． 2 i 【答案】C 【详解】  i 3 由题意可得： e  cos   1 3 3  i sin   i ，所以虚部为 3 3 2 2 2 . 故选 C 例 3. 已知 a, b �R 2 ( a  bi)  2i ， i  1 则 " a  b  1" 是“ ”的（ A．充分不必要条件 2 B．必要不充分条件 C．充要条件 ） D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 a  1 a  1 a 2  b2  0 2  2i  (a  bi) 2 � 2i  (a 2  b2 )  2abi � { �{ 或{ b  1 b  1 ,因此 " a  b  1" 是“ 1 i 2ab  2 2  2i 2   a  bi  ”的充分不必要条件,选 A. 1 i 1 z  i 例 4. 已知 1  z （其中 i 是虚数单位），则 1  z  （ ） A． 1 【答案】C 【详解】 B． 0 C． 2 D． 2 Q 1 z 1  i  i, z   i  1  z  1  i  1  1  2 , ，故选 C. 1 z 1 i 【变式练习】 z  1  2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的虚部为________. 1．若复数 z 满足 i � 【答案】－1 【解析】 z 1  2i  1  2i   i    2 i ， i i 2 ∴ z 的虚部为 1 ，故答案为 1 . 2．已知复数 ① z1  z2 z1 (1  i )  3  i ；② | z1 || z2 | ；③复数 其中真命题的个数为（ A．1 ，复数 z1 z2  i (1  i ) 2 ，给出下列命题： 与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数 z2 ） B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由复数 z1 (1  i)  3  i 可得复数 z1  ，复数 z2  i (1  i ) 2 ， 3  i  3  i  1 i =  1  2i ，复数 z2  i ( 2i )=2 ， 1 i 2 对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴① 错误； 对于②: z1  1 +  2  = 5 ， z2  2 ， | z1 || z2 | ,∴② 正确； 2 2 对于③: 复数 z1  1  2i 与其共轭复数 z1  1  2i 关于实轴对称,∴③ 正确； 对于④:复数 z2  2 综上,真命题 3 个， 为实数，虚部为 0,∴④ 正确. ，在复平面内的点分别为  2   1, 2   1，， ， 的虚部为 0. 故选：C. 考点 2：复数的运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)． （1）z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； （2）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （3）＝＋i. 【典型例题】 z 例 5.若复数  1 i  2  i  1  2i  ，则 z  ______. 2 【答案】 【解析】 Q 复数 z  1 i  2  i  1  2i   2  2i  i  i 2 1  3i  1  3i   1  2i  1  3i  2i  6i 2 5  5i      1  i ， 1  2i 1  2i  1  2i   1  2i  1  4i 2 5  z  (1) 2  (1)2  2 ． 故答案为： 例 6.已知 2． z  1 i ，i 为虚数单位. 2  （1）若   z  3 z  4 ，求 ； z 2  az  b 1 i （2）若 z 2  z  1 ，求实数 a，b 的值. a  1 � � 【答案】（1）   2 ；（2） b  2 � 【解析】 （1）已知 z  1 i  z  1 i ， ，    1  i   3  1  i   4  1  i ， 2   2. Q （2） z 2  az  b  a  b    a  2  i   1 i ， z2  z 1 i  a  b   a  2 i  1 i ， �a  b  1 �a  1 � � b2 . �a  2  1 ，解得 � 【变式练习】 2012 1 i � � �  ______. 1． 表示虚数单位，则 � 1 i � � i 【答案】1 【解析】  1 i   i 1 i  解：Q 1 i  1 i   1 i  2 且 i1  i ， i 2  1 ， i 3  i ， i4  1 2012 1 i � �  � �  i 2012  i 4�503  i 4  1 1 i � � 故答案为： 1 2．已知复数 z 满足|3+4i|+z=1+3i. z (1)求 ；  1  i   3  4i  2 (2)求 z 的值. 【答案】（1） 4  3i ；（2）2 【解析】 ， i5  i …… (1)因为|3+4i|=5, 所以 z=1+3i-5=-4+3i,所以 (2) = =-4-3i. = =2. 1 3 z  i 2 2 ， i 为虚数单位. 3. 已知复数 （1）求 z3 的值； （2）类比数列的有关知识，求 【答案】（1） z3  1 1  z  z 2  L  z 2019 的值. （2）1 【解析】 1 3 z  i (i 2 2 （1）Q 复数 为虚数单位）， 1 1 3 3 1 3  z 2  ( )2  2 �( ) � i  ( i)2    i 2 2 2 2 2 2 ， 1 3 1 3 1 3  z3  z 2 � z  (  i )(  i)   i 2  1 ， 2 2 2 2 4 4 1 z  z L  z 2 （2）  2019 1  z 2020 1  ( z 3 )673 � z   1 z 1 z 1 z 1 1 z 考点 3：复数的几何意义 1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数 0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一 对应关系．以原点 O 为起点，复数 z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量OZ，与复数 z 一一对应，OZ的模 叫做复数 z 的模． 2.复数加法的几何意义：如果复数 OZ1 与