1.1 集合跟踪练习 一、单选题 1.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA)∪(∁UB)等于( ) A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7} A={0,1,2,3 }, B={x ∨x=3 a , a ∈ A } 2.若 A. 6 ，则 A ∩B 的子集个数是（ ） B. 8 4 C. D. 2 M ={x∨x −3< 0 ， x ∈ N } ，则下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 0 ∉ M B. {0 }∈ M C. {1 }⊆ M D. 1⊆ M 4.已知集合 A ， B 是实数集 R 的子集，定义 A − B={ x∨x ∈ A , x ∉ B} ，若集合 3.若集合 1 A={ y∨ y = ， x A. [− 1,1] 1 ≤ x ≤ 1 } ， B={ y∨ y=x 2 − 1, −1 ≤ x ≤ 2} 3 ¿ B. ，则 B − A=¿ （ ） [0,1] C. ¿ D. 5.下列说法： ① 集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；③方程 { x+ y=3 的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确的有( ) x − y=− 1 组 A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 6.集合 n M ={x∨x = +1, n ∈ Z } 2 ， 1 N={ y∨ y=m+ , m∈ Z } ，则两集合 2 M,N 关系为（ ） A. M ∩ N =∅ B. M =N N⊆M A={x∨sin x+ lgcos x=1 } 是（ M⊆N C. D. 7.集合 A. ∅ ） B. 单元素集 C. 二元素集 D. 无限集 8.对于全集 为全集 U U 的子集 A 定义函数 的子集,下列结论中错误的是( 1 (x ∈ A) f A (x)={ 为 0 (x ∈∁U A ) ) A 的特征函数,设 A ,B A. 若 C. A ⊆B , f A (x) ≤ f B (x) 则 B. f A ∩ B ( x )=f A ( x )⋅ f B ( x) D. f ∁ ❑A (x)=1− f A (x) R f A ∪B (x )=f A ( x )+ f B ( x) 二、填空题 A={1,2,3,4,5 }, B={0,2,4,6 } 9.已知集合 2 M ={x∨x −2 x −3=0 } 10.已知集合 ，则 A ∩B=¿ ________ M ∪ N ={−1,3,4 } ，则 2 N={1− a , a } ，若 ， a=¿ ________． ， B 1 B={b∣ b= [1−(− 1)n ]⋅(n2 − 1) , n ∈ N } ，下列 8 A={a ∣a=2 k , k ∈ N } ，集合 11.集合 间的关系：① A 为 B 的真子集；② B 为 A 的真子集；③ A=B A ，其中正确的是________. （填写相应序号） 12.在平面直角坐标系中，点集 A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}， 则点集 Q＝{（x，y）|x＝x1+x2 ， y＝y1+y2 ， （x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的区域的 面积为________． 三、解答题 13.设 U= R,A={x | x −3 ≤1},B= {x |2<x<5},C= {x|a≤x≤a+ 1}(a 为实数). 2 （1）求 A∩B; （2）若 B∪C=B,求 a 的取值范围. P={ x∨x2 −5 x − 14=0 } ， 14.设集合 1 2 （1）若 m= （2）若 Q⊆ P 15.设 A={x| P 与 ，试判断集合 m ，求实数 Q={ x∨mx+1=0 } . Q 的关系； 的所有可能取值构成的集合 2 2∈ A 2 x + ax+2=0 }, T . ． （1）求 a 的值，并写出集合 A 的所有子集； 16.已知集合 (CU A) ∪(CU B) ． M ={x∨x =a+b ❑√ 2 ,a 2 − 2b 2=1, a , b∈ Z } （1）证明：若 （2）设 m∈ M （3）设 n∈ A n ∪ B，求 U=¿ A （2）已知 B={2,-5},设全集 x∈M ，且 ，则 x+ 1 <m<3 2 ，求证： 1 x 是偶数； ，求实数 n ∈M 3+2 ❑√ 2 m 的值； ；并求满足不等式 3 (3+2 ❑√ 2) ≤ n<2(3+2 ❑√ 2) 的 4 的值. ③ 偶函数图象关于 y 轴对称这个结论可以推广．例如，函数图象关于直线 x＝1 对称的充要条件是函数 y ＝f(x＋1)是偶函数． 请根据上述信息完成以下问题： （1）从偶函数定义出发，证明函数 y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； （2）求函数 g(x)＝x4＋4x3＋6x2＋4x 的对称轴； （3）已知函数 y＝h(x＋2)为偶函数，且 y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减，若函数 h(x)图象上两点 A(m，y1)，B(1－2m，y2)满足 y1＞y2 ， 求实数 m 的取值范围． 答案解析部分 1. D 2. C 3. C 4. B 5. D 6. D 7. A 8. D 9. {2,4} 10. ±2 11. ② 12. 18+π x −3 13.【答案】 （1）解：∵ 2 ≤1 得 C⊆B ∴ x≤3 A ∩B={x∨2< x ≤ 3} ∴ B ∪C=B （2）解：由 ∴ { a>2 2<a< 4 a+ 1< 5 即 ∴ a ∈(2, 4 ) A={x∨2 【解析】【分析】（Ⅰ）根据指数函数的性质化简 B ∪C=B （Ⅱ) 由 x− 3 C ⊆ B ，根据包含关系列出关于 得 ≤ 1} a ，然后利用交集的定义求解即可； 的不等式组求解，即可得到 a 的 取值范围. x 2 −5 x − 14=0 14.【答案】 （1）解：由 m= 若 1 2 （2）解：①若 ②若 − 即 1 x+1=0 2 ，由 Q≠ ∅ Q=∅ ，则 ，则方程 m≠ 0 x=−2 ，得 ，由 x=−2 ，解得 ，此时 或 x=7 ，即 P={−2,7 } . P Q={−2 } .所以 Q⊂ ≠ mx+1=0 无解，此时 mx+1=0 ，可得 . m=0 ； 1 1 x=− ，所以 − =−2 m m 或 1 =7 ， m m= 1 2 综上所述， 或 m=− 1 7 . 1 1 T ={0, , − } 2 7 . 【解析】【分析】（1）解一元二次方程求得集合 两个集合的关系.（2）将 Q 分成 所有可能取值构成的集合 T . Q=∅ 和 P ，解一元一次方程求得集合 Q≠ ∅ Q ，由此判断出 两种情况进行讨论，由此求得实数 15.【答案】 （1）解：∵2∈A∴2 是方程 2x2+ax+2＝0 的根，即 8+2a+2＝0∴a＝﹣5， x= ∴2x2﹣5x+2＝0，解得 x=2 或 A 的子集为 ϕ ，{2}，{ （2）解：因为 U＝A∪B＝{2， 1 2 1 2 ，A＝{2， }，{2， 1 2 1 2 1 2 }， } ，﹣5}，所以（∁UA）U（∁UB）＝{ 1 2 ，﹣5} m 的 【解析】【分析】（1）由 2∈A，得 2 是方程 2x2+ax+2＝0 的根，求出 a 的值，进而求出集合 A，从而 知 A 的子集；（2）根据并集和补集的定义得出结果即可． 16.【答案】 （1）证明：若 1 1 x+ =a+ b ❑√ 2+ x a+b ❑√ 2 所以 ¿ a+b ❑√ 2+ x=a+ b ❑√ 2 ，则 ¿ a+b ❑√ 2+ 因为 2 2 a −2 b =1, a , b ∈ Z 且 . a −b ❑√ 2 (a+ b ❑√ 2)(a −b ❑√ 2) a− b ❑√ 2 a2 − 2b 2 2 2 a −2 b =1, 所以原式 ¿ a+b ❑√ 2+a −b ❑√ 2=2 a a ∈ Z .所以 2 a ∈ 偶数.原式得证 因为 m∈ M （2）解：因为 设 x∈M 1 <m<3 2 ，且 则 . 1 1 < <2 3 m 5 1 < m+ <5 6 m ，所以 2 2 a −2 b =1, a , b ∈ Z . 1 5 m+ =2 a ，即 <2 a< 5 m 6 m=a+ b ❑√ 2 由（1）可知 ， a=1 或 a=2 . 2 2 当 a=1 时，代入 a −2 b =1, a , b ∈ Z 可得 b=0 1 ❑ <m<3 ，所以 m=1 此时 m=a+ b √ 2=1 ，满足 2 所以 当 a=2 时，代入 a2 −2 b2=1, a , b ∈ Z 解得 b=± 成立 ❑ √6 ， 2 b ∈ Z ，所以不成立； 综上，可知 m=1 不满足 （3）证明：因为 则 n∈M ，所以可设 n=a+b ❑√ 2, 且 2 2 a −2 b =1, a , b ∈ Z n a+b ❑√2 ( a+b ❑√ 2)(3 −2 ❑√ 2) = = 3+ 2 ❑√ 2 3+2 ❑√ 2 (3+2 ❑√ 2)(3 −2 ❑√ 2) ¿(3 a − 4 b)+(3 b −2 a)❑√ 2 2 2 a −2 b =1, a , b ∈ Z 代入 (3 a − 4 b)2 − 2(3 b −2 a)2 2 得： ¿ 9 a2 −24 ab+16 b2 −2[9 b 2 −12 ab+ 4 a 2] 2 ¿ a −2 b =1 ∵a , b ∈ Z ∴(3 a − 4 b)∈ Z ,(3 b −2 a)∈ Z 即 n ∈M 3+ 2 ❑√ 2 成立， 原式得证 3 (3+2 ❑√ 2) ≤ n<2(3+2 ❑√ 2) ，不等式同时除以 对于 4 1 <m<3 范围内， m=1 由（2）可知，在 2 3+2 ❑√ 2 可得 3 n ≤ <2 4 3+2 ❑√2 所以 n