2.2 等差数列（知识讲解） 一、基础知识 1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“ (1)公差 ”表示)。 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ，若 (2)对于数列 (与 无关的数或字母)， ， ，则此数列是等差数列， 为公 差。 或 2、等差数列的通项公式： 有几种方法可以计算公差 3、等差中项：数列 、 即有 ：① ；② ；③ 、 成等差数列的充要条件是 、 。 ，其中 叫做 、 的等差中项。 、 成等差数列恒成立。 的通项公式为 4、若数列 。 、 ( 为常数)，则这个数列一定是等差数列。有： (1)若 ，则 是公差为 的等差数列，即为常数列 、 、 、…。 (2)若 ，则 是关于 的一次式，从图像上看，表示数列的各点均在一次函数 的图像上， 一次项的系数是公差，直线在 轴上的截距为 。 (3)数列 为等差数列的充要条件是其通项 ( 、 为常数)，又称第 通项公式。 (4)判断数列是否是等差数列的方法是否满足 个通项公式中的一个。 为等差数列的方法： 5、证明 (1)定义法： ( 为常数， 为等差数列； ) 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子 加上“ ”，否则 时， 无定义。 为等差数列； (2)中项法： (3)通项法： 和 为 的一次函数 (4)前 项和法： 6、等差数列的性质 为等差数列； 或 。 ，但它们的意义不同，后者必须 ，则 (1)在等差数列中，若 注意：但通常由 (2)在等差数列 ( 推不出 中， 、 、 、 ，因为有常数列的存在。 、…仍为等差数列，公差为 时为递增数列，且当 (3)等差数列的增减性： )。 时为递减数列，且当 时前 项和 。 有最小值。 时前 项和 有最大值。 二、知识应用 1、等差数列的基本概念 例 1-1．在等差数列 中， ， ，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 例 1-2．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，则数列 的公差是( )。 A、 B、 C、 D、 例 1-3．等差数列 前 项和为 ，若 、 是方程 的两根，则 A、 B、 C、 D、 例 1-4．等差数列 中， ，则 的值为( )。 A、 B、 C、 D、 例 1-5．在等差数列 中，已知 ，则 。 ( )。 例 1-6．若 ， ， ， ， 成等差数列，则 例 1-7．在数列 (1)求 、 ， ( ，且 )。 的值； (2)设 (3)求 中， 。 ( )，证明：数列 是等差数列； 。 2、等差数列的单调性和最值 例 2-1．下面是关于公差 的说法正确的是( )。 是递增数列 A、数列 是递增数列 B、数列 是递增数列 C、数列 是递增数列 D、数列 例 2-2．设 的等差数列 为等差数列 A、最小值是 的前 项和， ( )，若 ，则 的( )。 B、最大值是 C、最小值是 D、最大值是 例 2-3．设公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 ，则当 取最大值时 的 值为( )。 A、 B、 C、 D、 例 2-4．记等差数列 的前 项和为 ，若 的最大值为( ) 。 A、 B、 C、 D、 例 2-5．等差数列 中，已知 ，且公差 ，则其前 项和取最小值时的 的值为( )。 A、 B、 C、 D、 例 2-6．设首项为 ，则 ，公差为 的取值范围是 例 2-7．设等差数列 (1)求出公差 (2)指出 、 的递增等差数列 的前 项和为 的前 项和为 。 ，已知 ， 的范围； 、… ，其中 中哪一个值最大，并说明理由。 ， 。 ， 为实数，若 答案 例 1-1．【答案】C 【解析】 ， ， ， ，故选 C。 例 1-2．【答案】B 【解析】 ， ，故选 B。 例 1-3．【答案】A 【解析】由韦达定理得： ， ，结合等差数列的性质可得： ，则 ，故选 A。 例 1-4．【答案】B 【解析】在等差数列 中，∵ ，∴ 又∵ ，∴ ， ，故选 B。 例 1-5．【答案】 【解析】方法一： 方法二： ，而 。 。 例 1-6．【答案】 【解析】设公差为 ，则 ， 。 例 1-7．【解析】(1) ， ； (2)∵ ， 又∵ ，∴数列 (3)由(2)知 为首项为 ，公差为 的等差数列，∴ ，∴ 。 是递增数列，又 是递增数列，， ； 例 2-1．【答案】A 【解析】∵数列 中 ，∴ 而数列 也是递增数列，∴故选 A。 例 2-2．【答案】D 【解析】由 得 ∴ ，∴数列 又∵ ， ， 是递增数列， ， ， 的前 项为负值， 的最小值是 ，故选 D。 例 2-3．【答案】C 【解析】 ， 递减， ，∴ ∵ ∴ ， 时 ， ， ， ， 时 ，∴当 取最大值时 ，故选 C。 例 2-4．【答案】B 【解析】 即 ， ， ， ， ，∴ ，故选 B。 例 2-5．【答案】C 【解析】∵ ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， ，∴ ，且 ， ， ∴ ， ∴当 时前 项和取最小值，故选 C。 例 2-6．【答案】 【解析】 ， ， ， 关于 又数列 ， 有实数根， ， 为递增数列，则 ，∴ 例 2-7．【解析】(1) 的取值范围是 ，即 得 ∴ ，代入得 ， ， ； ， ， ∴ 。 ， ，此数列为减数列， (2) ， ，∴ 或 ， ，即 又由 ， 的值最大。 ，