1.1 空间向量及其运算 本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主 要学习空间向量及其运算。 平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。将平面向量拓展到空间，进一步提升了向 量的应用。本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习， 既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是 尤为重要的。 课程目标 A.经历向量及其运算由平面向空间推广的 学科素养 1.逻辑推理：运用向量运算判断共线与垂直； 过程，了解空间向量、向量的模、零向量、 2..直观想象：向量运算的几何意义； 相反向量、相等向量等的概念； 3.数学运算：向量的加减、数乘与数量积运算及其运 算律； B.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数 量积； C.能运用向量运算判断向量的共线与垂直. 1.教学重点：理解空间向量的概念 2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情境导学 章前图展示的是一个做滑翔运动员的场景，可以想象在滑翔过 创设问题情境，引 程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力 ， 导 学 生 通 过 平 面 向 风力，重力等，显然这些力不在同一个平内，联想用平面向量解决 物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量 研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从 量知识类比学习空 间向量 空间上的概念和表示开始。 二、探究新知 由回顾知识出发， 提出问题，让学生 知识点一　空间向量的概念 感受到平面向量与 思考 1.　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 空间向量的联系。 答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 即空间向量是平面 (1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫 向量向空间的拓展， 做向量的_____或___. 处理空间向量问题 空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a 的起 点是 A，终点是 B，则 a 也可记作AB，其模记为__________. 方向；大小；长度；模；长度；|a|或|AB| (2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为 0 的向量叫_______，记为 0 单位向量 ______的向量叫单位向量 相反向量 与向量 a 长度_____而方向_____的向量，称为 a 的相反 向量，记为－a 要转化为平面向量 解决。 相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且__ ___的有向线段表示同一向量或相等向量 零向量；模为 1；相等；相反；相同；相等；同向；等长 知识点二　空间向量的加减运算及运算律 思考 2.　下面给出了两个空间向量 a、b，作出 b＋a，b－a. 答案　如图，空间中的两个向量 a，b 相加时，我们可以先把向量 a，b 平移到同一个平面 α 内，以任意点 O 为起点作OA＝a，OB＝ b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a. 让学生巩固空间 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. 向量加减法及其运 算律的同时让学生 感受空间向量和立 体图形间的联系， OB＝OA＋AB＝a＋b CA＝OA－OC＝a－b OB＝OA＋AB＝OA＋OC＝a＋b (2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点三　空间向量的数乘运算 思考 3.　实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义是什么？向量的数乘 运算满足哪些运算律？ 答案　λ＞0 时，λa 和 a 方向相同；λ＜0 时，λa 和 a 方向相反；λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 体现空间向平面的 转化思想。 ① 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， ② 结合律：λ(μa)＝(λμ)a. (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量， 称为向量的数乘运算，记作 λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____. ② 当 λ>0 时，λa 与向量 a 方向相同；当 λ<0 时，λa 与向量 a 方向 ；当 λ＝0 时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ② λ(a＋b)＝________； ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). 相反；|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a 知识点四　共线向量与共面向量 思考 4.　回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量 的定义. 答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 平行或重合；a＝λb；方向向量；OP＝OA＋ta； AB 定义 三个向量 共面的充 要条件 点 P 位于 平 面 ABC 内 平行于同一个平面的向量 向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充要条件是 存在______的有序实数对(x，y)使__________ 存在有序实数对(x，y)，使AP＝ ___________ 的充要条 件 对空间任一点 O，有OP＝OA＋ __________ 惟一；p＝xa＋yb； xAB＋yAC；xAB＋yAC 做一做 1.如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图 中标出化简结果的向量. 通过具体问题， 让学生感受空间向 量在解决空间几何 (1)AA′－CB； (2)AA′＋AB＋B′C′. 中的应用。发展学 解（1）　AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′. （2）　AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′.向量 AD′、AC′如图所示. 例 1.已知平行四边形 ABCD 从平面 AC 外一点 O 引向量． ＝k ， ＝k ， ＝k ， 求证：四点 E，F，G，H 共面 ＝k ． 生数学抽象、逻辑 推理的核心素养。 【分析】（1）可画出图形，根据 便可得到 ，从而得出 EF∥AB，同理 HG∥DC，且有 EF＝HG，这便 可判断四边形 EFGH 为平行四边形，从而得出四点 E，F，G，H 共面； 解：（1）证明：如图， ∵ ；∴ ； EF∥AB，且 EF＝|k|AB； 同理 HG∥DC，且 HG＝|k|DC，AB＝DC； ∴EF∥HG，且 EF＝HG； ∴四边形 EFGH 为平行四边形； ∴四点 E，F，G，H 共面； 知识点五　空间向量数量积的概念 思考　如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6，AC＝ 4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算， 如何求向量OA与BC的数量积？并总结求两个向量数量积的方法. 通过类比平面向 解　∵BC＝AC－AB， ∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB ＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉 量数量积的运算让 学生掌握空间向量 数量积的运算，并 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. 能解决简单问题， 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长 提升推理论证能力， 度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计 提高学生的数学抽 算. 象、数学建模及逻 (1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做 a，b 的 辑推理的核心素养。 数量积，记作 a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量 与向量数 (λa)·b＝______ 量积的结 合律 交换律 a·b＝_____ 分配律 a·(b＋c)＝_________ a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a (3)空间向量的夹角 ① 定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝ a，OB＝b，则______叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉.② 范 围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b. ∠AOB；[0，π]； 两个 向量 数量 积的 性质 ① 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔_______ ② 若 a 与 b 同向，则 a·b＝______；若反向，则 a·b＝ 通过典例解析，进 一步让学生体会空 ________. 特别地，a·a＝____或|a|＝ 间向量在解决立体 ③ 若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝_______ 几何中的应用，提 ④|a·b|≤|a|·|b| 升推理论证能力， 提高学生的数学运 2 ；；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a| 算及逻辑推理的核 心素养。 例 2．已知平行六面体 ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3， AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°， （1）求 AC′的长；（如图所示） （2）求 与 的夹角的余弦值． 【分析】（1）可得 算可得 ＝ ＝ ，由数量积的运 ，开方可得； （2）由（1）可知 ，又可求 和 ，代入夹角公式 可得． 解：（1）可得 ＝ ＝ ＝ ， ＝ +2 （ ） ＝42+32+52+2（4×3×0+4× 故 AC′的长等于 （2）由（1）可知 故 ）＝85 ＝ ＝ ＝（ ， ）•（ ＝ ） ＝ ＝ 又 故 ＝ ＝ 与 ＝ 的夹角的余弦值＝ ＝ ＝5 ＝ 例 3．已知：m，n 是平面 α 内的两条相交直线，直线 l 与 α 的交点 为 B，且 l⊥m，l⊥n． 求证：l⊥α 解：设直线 m 的方向向量为 ，直线 n 的方向向量为 ，直线 l 的 方向向量为 ， ∵m，n 是平面 α 内的两条相交直线 ∴ 与 是平面 α 内的两个不共线向量，设平面 α 内的任一向量为 ， 由平面向量基本定理，存在唯一实数 λ，μ，使 ＝λ +μ 又∵l⊥m，l⊥n，∴ ∴ • ＝ ＝0， ＝λ ＝0 +μ ＝0 ∴ ∴直线 l 垂直于平面 α 内的任意直线， 由线面垂直的定义得：l⊥α 三、达标检测 1.下列命题中，假命题是(　　) 通过练习巩固本 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 节所学知识，通过 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 学生解决问题，发 C.只有零向量的模等于 0 展学生