考前冲刺二 10 个二级结论高效解题 结论 1　奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别 地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0. 【例 1】 设函数 f(x)＝的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________. 解析　显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)＝＝1＋， 设 g(x)＝，则 g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案　2 【训练 1】 对于函数 f(x)＝asin x＋bx＋c(其中 a，b∈R，c∈Z)，选取 a，b，c 的一组 值计算 f(1)和 f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 解析　令 g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则 g(x)是奇函数.又 g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋ f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而 g(－1)＋g(1)＝0，c 为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c 为偶数. 选项 D 中，1＋2＝3 是奇数，不可能成立. 答案　D 结论 2　抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T＝2a. (2)如果 f(x＋a)＝(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. (3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. 2.函数的对称性 已知函数 f (x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝对称，特别地，若 f(a＋x) ＝f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点 (a，0)对称. 【例 2】 (1)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)，且当 x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则 f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018·日照调研)函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数 y＝f(x －1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为_____ ___. 解析　(1)因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)， 所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当 x≥0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出 现一次. 又当 x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故 f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以 f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4) ＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案　(1)C　(2)4 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x＋2)为偶函数，且 f(1)＝1，则 f(8)＋f(9)＝( ) A.－2 B.－1 C.0 解析　由 f(x＋2)是偶函数可得 f(－x＋2)＝f(x＋2)， D.1 又由 f(x)是奇函数得 f(－x＋2)＝－f(x－2)， 所以 f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故 f(x)是以 8 为周期的周期 函数，所以 f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，所以 f(8)＝f(0)＝0，故 f(8)＋f(9)＝1. 答案　D 结论 3　两个经典不等式 (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当 x＝1 时，等号成立. (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且 x≠1). 【例 3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数 f(x)＝x－1－aln x. (1)若 f(x)≥0，求 a 的值； (2)证明：对于任意正整数 n，… <e. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， ① 若 a≤0，因为 f＝－＋aln 2<0，所以不满足题意. ② 若 a>0，由 f′(x)＝1－＝知， 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0； 所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 故 x＝a 是 f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点. 因为 f(1)＝0，所以当且仅当 a＝1 时，f(x)≥0，故 a＝1. (2)证明　由(1)知当 x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0. 令 x＝1＋，得 ln<. 从而 ln＋ln＋…＋ln<＋＋…＋＝1－<1. 故…<e. 【训练 3】 (1)已知函数 f(x)＝，则 y＝f(x)的图象大致为(　　) 解析　因为 f(x)的定义域由 求得{x|x>－1，且 x≠0}，所以排除选项 C，D. 当 x>0 时，由经典不等式 x>1＋ln x(x>0)， 以 x＋1 代替 x，得 x>ln(x＋1)(x>－1，且 x≠0)， 所以 ln(x＋1)－x<0(x>－1，且 x≠0)，易知 B 正确. 答案　B (2)已知函数 f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线 y＝f(x)与曲线 y＝x2＋x＋1 有唯一公共点. 证明　令 g(x)＝f(x)－＝ex－x2－x－1，x∈R， 则 g′(x)＝ex－x－1， 由经典不等式 ex≥x＋1 恒成立可知，g′(x)≥0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为单调递增函数， 且 g(0)＝0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论 4　三点共线的充要条件 A，B，C 三点共线，共线；向量，，中，A，B，C 三点共线存在实数 α，β 使得＝α＋ β，且 α＋β＝1. 【例 4】 已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2＋x＋ ＝0 成立的实数 x 的取值集合为(　　) A.{－1} B. C.{0} D.{0，－1} 解析　∵＝－，∴x2＋x＋－＝0， 即＝－x2＋(1－x)，∴－x2＋(1－x)＝1， 解得 x＝0 或 x＝－1(x＝0 舍去)，∴x＝－1. 答案　A 【训练 4】 在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点. 若＝λ＋μ，则 λ＋μ＝________. 解析　如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 由已知易得 AB＝AT， ∴＝＝λ＋μ， ∴＝λ＋μ， ∵T，M，N 三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝. 答案　 结论 5　三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为△ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为△ABC 的外心⟺||＝||＝||＝. (2)O 为△ABC 的重心⟺＋＋＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⟺·＝·＝·. (4)O 为△ABC 的内心⟺a＋b＋c＝0. 【例 5】 已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足＝[(1－λ)＋ (1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点 P 的轨迹一定经过(　　) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心 D.AB 边的中点 解析　取 AB 的中点 D，则 2＝＋， ∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]， ∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)] ＝＋， 而＋＝1，∴P，C，D 三点共线， ∴点 P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案　C 【训练 5】 (1)P 是△ABC 所在平面内一点，若·＝·＝·，则 P 是△ABC 的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足＝＋λ，λ∈[0， ＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析　(1)由·＝·，可得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，同理可证⊥，⊥.∴P 是△ABC 的垂心. (2)为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC 的平分线的方向. 又 λ∈[0，＋∞)，∴λ 的方向与＋的方向相同. ＝＋λ，∴点 P 在上移动. ∴P 的轨迹一定要通过△ABC 的内心. 答案　(1)D　(2)B 结论 6　与等差数列相关的结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之 和为 S 偶，则所有项之和 S2m＝m(am＋am＋1)，S 偶－S 奇＝md，＝. (2)若等差数列{an}的项数为奇数 2m－1，所有奇数项之和为 S 奇，所有偶数项之和为 S 偶， 则所有项之和 S2m－1＝(2m－1)am，S 奇－S 偶＝am，＝. 【例 6】 (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则 m＝________. (2) 一 个 等 差 数 列 的 前 12 项 和 为 354 ， 前 12 项 中 偶 数 项 的 和 与 奇 数 项 的 和 的 比 为 32∶27，则数列的公差 d＝________. 解析　(1)由 am－1＋am＋1－a＝0 得 2am－a＝0，解得 am＝0 或 2. 又 S2m－1＝＝(2m－1)am＝3