6.1.1 函数的平均变化率 导学案 1.理解函数平均变化率的概念． 2.会求函数的平均变化率． 3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 重点：平均速度与函数平均变化率的概念 难点：会求平均速度与函数平均变化率 一、 函数的平均变化率 一般地,若函数 y=f(x)的定义域为 D,且 x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称 Δx=x2-x1 为自变量 的改变量;称 Δy=y2-y1(或 Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称 Δ y y2 - y1 Δ f f ( x2 )- f ( x 1 ) = = (或 ) Δ x x2 - x 1 Δx x 2 - x1 为函数 y=f(x)在以 x1,x2 为端点的闭区间上的平均变化率. 二、 函数平均变化率的几何意义: 如图所示,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线 AB 的斜率,其中 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实 上, kAB= f ( x 2 )- f ( x 1 ) Δ y = . x2 - x1 Δx 三、平均速度与平均变化率 从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移 x m 与时间 t s 的关系为 x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2 时)这段时间内的平均速度为 (m/s).这就是说,物体在某段时间内的平均速度等于 x=h(t)在该段时间内的平均变化率. h( t 2 )- h( t 1 ) t 2 -t 1 一、 问题探究 探究 1. 药物在动物体内的含量随时间变化的规律,是药学与数学间的边缘学科---药物动力学的研究 内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂， 在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司 t h 后血药浓度 w μg/ L 的一些 对应数据如下表所示， （1）当 t ∈[0.5,1] 和 t ∈[1,1.5] 时, w 都是增加的,哪个时段 w 的增加更快？ （2）当 t ∈[3,5] 时,平均每小时 w 的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际 意义？ t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 w 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 问题 1. 在平均变化率中, Δx, Δy, 该区间上一定为常数? Δy Δ x 是否可以等于 0?当平均变化率等于 0 时,是否说明函数在 二、典例解析 例 1. 求函数 f ( x )=x （1） 2 在下列区间上的平均变化率: [1,3 ] （2）以 1 和 1+∆ x 为端点的闭区间. 例 1（2）的计算结果说明，函数 f ( x )=x 2 在以 1 和 1+∆ x 为端点的闭区间上的平均变化率与 ∆ x 有关； ∆ x 增大时，平均变化率增大. 2 从几何上来看就是，当 ∆ x 增大时，函数 f ( x )=x 的图像上，连接（1， f ( 1 ) ）与 （1+ ∆ x ， f ( 1+∆ x ) ）的直线斜率将不断增大，如图所示的图中，直线 AB 的斜率小于直线 AO 的斜率,且直线，AO 的斜率小于直线 AC 的斜率. 前述情境中的数据可以用图表示，若将 w 作为时间 t 的函数，除了根据已知数据得到的 点以外，函数图像上其他点我们是不知道的.例如,函数图像有可能是图中黄色曲线，也有可能是绿 色曲线 探究 2.观察前述情景中的数据与图思考，怎样才能估计出 t =4 时 w 的值？ 我们可以将图中的线段 AB 近似的看成 w 在 [3,5 ] 上的图像，从而由 AB 的方程可以计算 出 t=4 时 w 的估计值： 因为直线 AB 的斜率为 −¿ 6.95，且 B（5，8.8），所以有直线的点斜式可知 AB 的直线方程为 w−8.8=−6.95 (t−5) 代入 t=4 ,可以算得 w=15.75 ，也就是说 w 的估计值为 15.75 .上述求 w 估计值 的关键是用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”. 　 例 2.已知某物体运动的位移 x m 是时间 t s 的函数，而且 t=0.1 时， t=0.5 时， x=2.25, x=0.25 ; （1）求这个物体在时间段 [0.1,0.5] 内的平均速度； （2）估计出 t=0.2 时物体的位移. 求函数平均变化率的解题策略 (1)求函数 y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的解题步骤: ① 求函数值的增量:Δf=f(x2)-f(x1); ② 求自变量的增量:Δx=x2-x1; ③ 作商即得平均变化率: Δ f f ( x2 )- f ( x 1 ) = . Δx x 2 - x1 (2)运动物体在 t0 到 t1 这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数 s(t)在区间[t0,t1]上的平 均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率. 跟踪训练 1.(1)求函数 f(x)= 1 x +2 在区间[-1,0],[1,3],[x0,x0+1]上的平均变化率; (2)若某一物体的运动方程为 s=-2t2,那么该物体在 t=2 到 t=3 时的平均速度为　　　　　. 1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数 y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平 均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 2．函数平均变化率的几何意义和物理意义． (1)几何意义：平均变化率表示函数 y＝f(x)图像上割线 P1P2 的斜率，若 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))， 则 kP1P2＝＝； (2)物理意义：把位移 s 看成时间 t 的函数，平均变化率表示 s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度， 即v＝. 1．某物体的运动规律是 s＝s(t)，则该物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均速度是(　　) A.v＝＝ B.v＝ C. v＝ D.v＝ 2．设函数 y＝f(x)＝x2－1，当自变量 x 由 1 变为 1.1 时，函数的平均变化率为(　　) A．2.1 B．1.1 C．2 D．0 3.如图所示，函数 y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 ________． 4．函数 f(x)＝x2－x 在区间[－2，t]上的平均变化率是 2，则 t＝________. 5.已知函数 f(x)=3x2+5,求 f(x): (1)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率; (2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率. 6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t)＝＋15，其中 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山 后的时间(单位：min)． (1)从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 参考答案： 知识梳理 学习过程 一、问题探究 探究 1. 有所给数据不难看出，当 t ∈[0.5,1] 和 t ∈[1,1.5] 时， w 的增加量分别为 28.6−6.6=22, 39.1−28.6=10.5 ， 因为时间间隔都是 0.5 h ，所以 t ∈[0.5,1] 时， 当 t ∈[3,5] 时， w 增加更快. w 的变化量为 8.8−22.7=−13.9, 又因为共有 5-3=2 个小时，所以平均每小时的变化量为 −13.9 2 ¿−6.95 这说明，在 [3,5 ] 这段时间内，任意 1 个小时血药浓度平均减少 6.95 μg / L ，此时，任意 h （ h ∈[0,2] ）个小时血药浓度平均减少 6.95 μg / L . 问题 1. 分析:Δx 可以为正数,也可以为负数,但 Δx 不可以为 0,Δy 可以为 0; 可以为 0.当平均变化率 Δy 2 Δ x 等于 0 时,并不说明函数在该区间上一定为常数.例如函数 f(x)=x 在 区间[-2,2]的平均变化率是 0,但它不是常数函数. 二、典例解析 例 1. 解：依定义可知 ∆f ∆x ¿ f ( 3 )−f (1) 3−1 ¿ 3 2−22 2 ¿ 4. 即在 [1,3 ] 上的平均变化率为 4. （2）依定义可知 ∆f ∆x ¿ f ( 1+ ∆ x )−f (1) ∆x ¿ ( 1+∆ x )2 −12 2 ¿ 2+∆ x . f ( x ) 在以 1 和 1+∆ x 为端点的闭区间上的平均变化率为 2+∆ x . 探究 2. Δy Δx 我们可以将图中的线段 AB 近似的看成 w 在 [3,5 ] 上的图像，从而由 AB 的方程可以计算 出 t=4 时 w 的估计值： 因为直线 AB 的斜率为 −¿ 6.95，且 B（5，8.8），所以有直线的点斜式可知 AB 的直线方程为 w−8.8=−6.95 (t−5) 代入 t=4 ,可以算得 w=15.75 ，也就是说 w 的估计值为 15.75 .上述求 w 估计值 的关键是用直线段代替了曲线段，这在数学中简称为“以直代曲”. 例 2.解：（1）所求平均速度为 2.25−0.25 0.5−0.1 ¿ 2 =5 m/s 0.4 （2）将 x 在 [ 0.1,0 .5 ] 上的图像看 成直线，则由（1）可知， 直线的斜率为 5，且直线通过点 ( 0.1,0 .25 ) ， x 与 t 的关系可近似地表示为 x−0.25=5 (t −0.1 ) . 因此， 在上式中令 t=0.2 ，可求得 x=0.75 ，即物体的位移可以估计为 0.75 m. 跟踪训练 1.分析(1)按照平均变化率的定义分三步求解;(2)实质就是求函数 s(t)在区间[2,3]上的平均变 化率. (1)解:f(x)= 1 x +2 在区间[-1,0]上的平均变化率为 1 -1 1 Δ f f ( 0 )- f (-1 ) 2 == = 2 . Δx 0 -(- 1) 1 f(x)= 1 x +2 在区间[1,3]上的平均变化率为 1 1 1 Δ f f ( 3 )- f ( 1 ) 5 3 == = 15 . Δx 3-1 2 f(x)= 1 x +2 在 区 间 [x0,x0+1] 上 的 平 Δ f f ( x 0+1 )- f ( x 0 ) 1 1 -1 = = − = . Δ x ( x 0+ 1)- x 0 x 0 +3 x 0 +2 ( x0 +2 )( x 0+