宿州市十三所重点中学 2020—2021 学年度第二学期期中质量检测 高二数学（理科）试卷 一 ､ 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 2  bi (b �R) 1. 若复数 1  2i 的实部与虚部互为相反数，则 b  2 B. 3 2 A. C.  2 3 D. 2 【答案】C a b 2. 用反证法证明命题：“已知 ､ 是自然数，若 应该是（ A. B. C. D. a  b �4 a b ，则 ､ 中至少有一个不小于 2”，提出的假设 ） a b ､ 中两个都不小于 2 a b ､ 中至少有一个小于 2 a b ､ 都小于 2 a b ､ 中至多有一个小于 2 【答案】C 1 s  t2 3. 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 2 ，则 t  2 时， 此木块在水平方向的瞬时速度为（ A. 2 【答案】A B. 1 ） 1 C. 2 1 D. 4 4. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• B •曼德尔布罗特( Benoit.Mandelbrot )在 20 世纪 70 年代创立 的一门新学科,它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成 一个树形图,则第 13 行的实心圆点的个数是 A. 55 个 B. 89 个 C. 144 个 D. 233 个 【答案】C 5. 已知函数 f ( x)  e 2  x  x A. 函数 f ( x) 的最小值为 C. 函数 f ( x) ， 3 x �[1,3] ，则下列说法正确的是 1 e B. 函数 f ( x) 的最大值为 的最小值为 3 D. 函数 【答案】C 6. 已知函数 f  x   4 x  3ln x ，则 f  x 的图象大致为 A. B. C. D. f ( x) 3 的最大值为 3 1 e 【答案】A 7. 下列类比推理正确 序号为（ ） 的 3a ①“边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和是定值 2 ”类比空间，“棱长为 a 的正四面体内任一点 6a 到四个面的距离之和是定值 4 ”； ② 在平面上，若两个正三角形的边长比为 体的棱长比为 1: 2 ，则他们的体积比为 1: 2 1: 8 ，则他们的面积比为 1: 4 .类似的，在空间中，若两个正四面 ； x2 y 2   1 a  b  0  ③ 已知椭圆具有性质：若 M ， N 是椭圆上 a 2 b 2 关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆 上任意一点，则当 PM ， PN 的斜率都存在， 则 K PM K PN  K PM K PN b2 x2 y 2  2  1 上， a ，类似的，点 P 若在双曲线 a 2 b 2 b2 a2 .  2 2  a  b  ，类比空间中，长宽高分别为 a ， b ， c 的长方 ④ 长宽分别为 a ， b 的矩形的外接圆的面积为 4  2 2 2  a b c  . 体的外接球的面积为 4 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 1 1 1 1 25   L    n �N*  8. 用数学归纳法证明不等式 n  1 n  2 n  3 时，从“ n  k 到 n  k  1 ”左 3n  1 24 边需增加的代数式为（ ） 1 A. 3k  4 1 1 1   B. 3k  2 3k  3 3k  4 1 1 1   C. 3k  2 3k  4 3k  3 1 1 2   D. 3k  2 3k  4 3k  3 【答案】D 9. 设正三棱柱的体积为 V ，当其表面积最小时，底面边长为（ 4V A. B. 3 8V C. 3 ） 6V D. 3 4V 【答案】D 10. 若函数 f ( x)  x 2e x  a 4 , �) A. e 2 ( 恰有 3 个零点，则实数 a B. (0, 4 ) e2 的 取值范围是 D. (0, �) 2 C. (0, 4e ) 【答案】B � 1� � 1� 1 � 1 2 � L � � 11. 设 m 为整数，对于任意的正整数 n ， � 2 � � 2 � A. 2 B. 3 � 1 1 n � � 2 � � m ，则 的最小值是（ ） � m C. 4 D. 5 【答案】B 12. 设 f  x 是定义在 R 上的函数，其导函数为 e x f ( x )  e x  2020 f�  x ，若 f  x  f �  x  1 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ， f  0  2021 ，则不等式 ） A.  �, 0  � 2020, � B.  �, 0  C.  2020, � D.  0, � 【答案】D 二 ､ 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案写在题中的横线上. 13. 已知复数 z 满足  z  2  i  1  i （ i 为虚数单位），则 z 的模为___________. 2 【答案】 14. 若点 P 是曲线 【答案】 . 上任意一点，则点 P 到直线 y  x4 的 最小距离为_______. 2 2 � 2 15 计算 y  x 2  ln x 0  4  ( x  2) 2  x dx =_____． 【答案】   2 16. 已知函数 f  x  ln x  ax 2 ，若有且仅有一个整数 k ，使 � �f  k  � � f  k   0 ，则实数 a 的取值范围 x 是__________． 1 1 ln 2  1 �a  ln 3  1 【答案】 2 3 三 ､ 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤 . f ( x)  17. 已知 e 是自然对数的底数，函数 （Ⅰ）当 a  1 时，求函数 f ( x) ax 2 e x （ a �R ，且 a �0 ）． 的单调区间； 1 （Ⅱ）当 a  0 时，函数 f ( x) 的极大值为 e ，求 a 的值． 【 答 案 】 （ 1 ） 增 区 间  �, 0  ,  2, � ； 为 减 区 间 为 e （2） 4 . 18. （1）已知 a0 ，证明： a2  （2）已知实数 a ， b ， c ， d 满足   1 � 1� �� a  � 2  2 . a2 � a � ac �2  b  d  2 ，用反证法证明：方程 x  ax  b  0 与方程  0, 2  . x 2  cx  d  0 至少有一个方程有实根. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 19. 设函数 （1）求 （2）若 y  f ( x) f (0) ，求 f (2) 、 （3）在（2）的条件下，猜想 f (3) 、 f ( x) （2）设函数 f (4) 的值； f ( n ) (n �N  ) 【答案】（1）0 （2）4，9，16 （3） （1）若 f ( x)  e x  x 2  ax  1 的表达式，并用数学归纳法加以证明． f ( n)  n 2 ． 在定义域内单调递增，求实数 a 的范围； g ( x )  xf ( x)  e x  x 3  x ，若 g ( x) � a � aa 【答案】（Ⅰ） � a �2  2ln2 （Ⅱ） 21. 如图，已知二次函数 l ， 的值； f (1)  1 20. 已知函数 f ( x  y )  f ( x)  f ( y )  2 xy 对任意实数 x 、y 都有 若直线 2 与函数 f  x f  x   3 x 2  3x l ，直线 l 至多有一个极值点，求 a 的取值集合． 1� 0或 � 2 l1 : x  2 ，直线 l2 : y  3tx （其中 1  t  1 ， t 为常数）； 的图象以及直线 1 ， 2 与函数 f  x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （1）求阴影面积 s 关于 t 的函数 （2）若过点 A  1, m  y  s t ， m �4 可作曲线 的解析式； y  s t ， t �R 的三条切线，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） s  t    1  t   2  6t ， 1  t  1 ；（2） 4  m  4 . 3 22. 已知函数 f ( x)  ln x  （Ⅰ）若函数 (a  x) 2 （ a �R ）. 2 h( x)  f ( x)  x  (a  1) ln x ，讨论 h( x ) 的 单调性； f  x2   （Ⅱ）若函数 f ( x) 的导数 f ( x ) 的两个零点从小到大依次为 x1 ， x2 ，证明： � 【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析. x1  x2 2 . 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635