直线、平面平行的判定与性质练习　 一、选择题 1．已知 a，b 是两条异面直线，直线 c 与 a，b 都垂直，则下列 说法正确的是(　　) A．若 c⊂平面 α，则 a⊥α B．若 c⊥平面 α，则 a∥α，b∥α C．存在平面 α，使得 c⊥α，a⊂α，b∥α D．存在平面 α，使得 c∥α，a⊥α，b⊥α 2．设 α，β 是两个不同的平面，m 是直线且 m⊂α，则“m∥β”是 “α∥β”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，M，N 分别是 A1B1，AB 的中点， P 点在线段 B1C 上，则 NP 与平面 AMC1 的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．要依 P 点的位置而定 4 ． 已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中 ， E ， F ， G 分 别 是 BB1，DD1，A1B1 的中点，则下列说法错误的是(　　) A．B1D∥平面 A1FC1 B．CE∥平面 A1FC1 C．GE∥平面 A1FC1 D．AE∥平面 A1FC1 5．如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， E 为 AD 的中点，F 为 PC 上一点，当 PA∥平面 EBF 时，＝(　　) A． B． C． D． 6．已知 m、n 是两条不同的直线，α、β、γ 是三个不同的平面， 下列命题中正确的是(　　) A．若 m∥α，m∥β，则 α∥β B．若 m∥α，n∥α，则 m∥n C．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 α⊥γ，α⊥β，则 γ∥β 7．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专 著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且 有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，下列说法： ①“羡除”有且仅有两个面为三角形； ②“羡除”一定不是台体； ③ 不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； ④“羡除”至多有两个面为梯形． 其中正确的个数为(　　) A．1 C．3 B．2 D．4 8．如图 所 示 ， 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中 ， 点 E，F，G，P，Q 分别为棱 AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C 的中点．则 下列叙述中正确的是(　　) A.直线 BQ∥平面 EFG B．直线 A1B∥平面 EFG C．平面 APC∥平面 EFG D．平面 A1BQ∥平面 EFG 二、填空题 9．设 α，β，γ 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线， 在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则 m∥n”中的横线处填入下列 三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；② m∥γ，n∥β；③ n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________(填序号). 10 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 中 ， AB ＝ 2，E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF∥平面 AB1C，则 EF＝ ________． 11．正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 为 CC1 的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平面 BMN 交 AA1 于点 Q，则线 段 AQ 的长为________． 三、解答题 12.如图 ，四边形 ABCD 与 ADEF 为平行四边形， M，N，G 分别为 AB，AD，EF 的中点． (1)求证：BE∥平面 DMF； (2)求证：平面 BDE∥平面 MNG. 13.已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是边长为 2 的菱形，且 BC ＝BD，DD1⊥平面 ABCD，AA1 ＝1，BE⊥CD 于点 E，试问在线段 A1B1 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 BEC1？若存在，求出点 F 的 位置；若不存在，请说明理由； 14 ． 如 图 ， 在 正 三 棱 柱 ABCA1B1C1 中 ， 底 面 △ABC 的边长 AB＝1，侧棱长为，P 是 A1B1 的中点，E，F，G 分别 是 AC，BC，PC 的中点． (1)求异面直线 FG 与 BB1 所成角的大小； (2)求证：平面 EFG∥平面 ABB1A. 15.在三棱锥 SABC 中，AB⊥平面 SAC，AS⊥SC，AB＝1，AC ＝，E 为 AB 的中点，M 为 CE 的中点，在线段 SB 上是否存在一点 N，使 MN∥平面 SAC？若存在，指出点 N 的位置并给出证明，若不 存在，说明理由． 答案： 1． C 2． B 3． B 4． C 5． D 6． C 7． C 8． B 9．①或③ 10． 11. 12．证明：（1）如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO.又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF. （2）因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DE∥GN.又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的 中 点 ， 所 以 MN 为 △ ABD 的 中 位 线 ， 所 以 BD∥MN，又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG，所以 BD∥平面 MNG. 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE∥平面 MNG. 13．当 F 为线段 A1B1 的中点时，AF∥平面 BEC1. 下面给出证明： 取 AB 的中点 G，连接 EG，B1G，则 FB1∥AG，且 FB1＝AG， 所以四边形 AGB1F 为平行四边形，所以 AF∥B1G. 因为 BC＝BD，BE⊥CD，所以 E 为 CD 的中点， 又 G 为 AB 的中点，AB∥CD，AB＝CD，所以 BG∥CE，且 BG＝ CE， 所以四边形 BCEG 为平行四边形，所以 EG∥BC，且 EG＝BC， 又 BC∥B1C1，BC＝B1C1， 所以 EG∥B1C1 ，且 EG＝B1C1 ，所以四边形 EGB1C1 为平行四边 形， 所以 B1G∥C1E，所以 AF∥C1E, 又 AF⊄平面 BEC1，C1E⊂平面 BEC1，所以 AF∥平面 BEC1. 14．（1）连接 PB. ∵G，F 分别是 PC，BC 的中点， ∴GF∥BP，∴直线 PB 与 BB1 所成角即异面直线 FG 与 BB1 所成角． 在 Rt△PB1B 中，由 PB1＝，BB1＝，可得 tan ∠PBB1＝＝， ∴异面直线 FG 与 BB1 所成角的大小为 30°. （2）证明：由（1）易得，直线 FG∥平面 ABB1A1， ∵E，F 分别是 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. 又 AB⊂平面 ABB1A1，EF⊄平面 ABB1A1， ∴EF∥平面 ABB1A1. ∵EF∩FG＝F，EF⊂平面 EFG，GF⊂平面 EFG. ∴平面 EFG∥平面 ABB1A1. 15. 存在点 N 为 SB 上的靠近 S 的四等分点即 SN＝SB，MN∥平面 SAC， 证明如下：取 AE 的中点 F，连接 FN，FM， 则 MF∥AC， 因为 AC⊂平面 SAC，MF⊄平面 SAC，所以 MF∥平面 SAC， 因为 AF＝AE＝AB，SN＝SB， 所以 FN∥SA，又 SA⊂平面 SAC，FN⊄平面 SAC， 所以 FN∥平面 SAC， 又 MF∩FN＝F，MF，FN⊂平面 MNF， 所以平面 MNF∥平面 SAC， 又 MN⊂平面 MNF，所以 MN∥平面 SAC.