2020-2021 学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）. 1．i 是虚数单位，则 A． ﹣ ＝（　　） B．﹣ + D． ﹣ C． + 2．在△ABC 中，AC＝3，BC＝2，cosC＝ ，则 sinA＝（　　） A． B． 3．如图，已知 A． ﹣ ＝2 ，则 C． D． ＝（　　） B．﹣ + C． + D．﹣ ﹣ 4．设 a，b 是两条不同的直线，α 是平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 a∥α，b⊂α，则 a∥b C．若 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α D．若 a∥α，b∥α，则 b∥a 5．如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分 组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则 分数在[80，90）的人数为（　　） A．9 B．15 C．12 D．6 6．如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1 ，BC1 的中点，则 EF 与 C1D 所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 acosB+ b＝c，则 A＝（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥BC 且 PA＝BC＝1，PB＝AC＝ 下列命题正确的个数是 （　　） ① 平面 PAB⊥平面 PBC； ② 平面 PAB⊥平面 ABC； ③ 平面 PAC⊥平面 PAB； ④ 平面 PAC⊥平面 PBC； ⑤ 平面 PBC⊥平面 ABC； ⑥ 平面 PAC⊥平面 ABC． ，PC＝ ，则 A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为 AD 上一点，BE⊥AC，若 ＝ + ，则 λ+μ 的值为（　　） A． B． C． D．1 10．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 acosC+ 0，a＝2，B＞C，△ABC 的面积为 A．b＝2 ，c＝2 B．b＝2 asinC﹣b﹣c＝ ，则 （　　） ，c＝1 C．b＝2，c＝2 D．b＝1，c＝2 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分． 11．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡 九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中 抽出 500 人服役，则北乡比南乡多抽　 　人． 12．设 x，y∈R，向量 ＝（x，1）， ＝（ ，y）， ＝（﹣2，4），且 则| |＝　 　． ， ， 13．为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，天津市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是南 开中学高二 5 班第二组的 8 名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8； 36.5，36.6，36.3，36.4（单位：℃），则该组数据的第 80 百分位数为 　 　． 14．为迎接 2022 年北京冬奥会，某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品 ， 二等品，三等品．从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概 率为 0.97，抽到一等品或三等品的概率为 0.88，则抽到一等品的概率为 　 　． 15．如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯 中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为 ． 16．在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛．如图，是篮球场地的部 分示意图，在高为 4 的等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝6，CD＝2．点 F 是以 CD 为 直径的半圆的中点，点 M 是半径为 6 的半圆 O 上的一个四等分点，点 P 为半圆 O 上任 一点，且点 P 在点 M 左侧，已知 • 的最小值为 　 　． ＝21 ．设点 E 为线段 AB 上任一点，则 三、解答题：本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分． 17．如图，在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心， ＝2 ．设 ＝ ， ＝ ． （Ⅰ）用 ， 分别表示 （Ⅱ）求| |； （Ⅲ）求 与 及 ； 夹角 θ 的余弦值． 18 ． 在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 2sin2 （ ）＝ sin（B+C）+1． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若 csinC＝4（a+b）（sinA﹣sinB），△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长． 19．2021 年 6 月 17 日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于 6.5 小时后与天和核心舱成功对 接，这是中国航天史上的又一里程碑．我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是 他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目．如图 1，是神舟十二号飞船推进舱及其 推进器的简化示意图，半径相等的圆 I1，I2，I3，I4 与圆柱 OO1 底面相切于 A，B，C，D 四点，且圆 I1 与 I2，I2 与 I3，I3 与 I4，I4 与 I1 分别外切，线段 A1A 为圆柱 OO1 的母线．点 M 为线 段 A1O1 中点 ，点 N 在 线段 CO1 上， 且 CN ＝2NO1. 已 知圆 柱 OO1 底面 半径 为 2，AA1＝4． （Ⅰ）求证：AM∥平面 BDN； （Ⅱ）线段 AA1 上是否存在一点 E，使得 OE⊥平面 BDN？若存在，请求出 AE 的长，若 不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角 I2﹣A1I1﹣I4 的余弦值； （Ⅳ）如图 2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和 核心舱为底面半径为 2 的圆柱 O2O3，它与飞船推进舱共轴，即 O，O1，O2，O3 共线．核 心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形 RST 为以 RS 为斜边的等腰直角三角形，四边形 PQRS 为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为 4，即 Q1O2 ＝4，且 O2O3 ＝RS＝2，PS＝ 7．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出 在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线 A1P 与平面 PQRS 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 . 参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 1．i 是虚数单位，则 A． ﹣ 解： ＝（　　） B．﹣ + ＝ C． + D． ﹣ ． 故选：A． 2．在△ABC 中，AC＝3，BC＝2，cosC＝ ，则 sinA＝（　　） A． B． C． D． 解：因为 AC＝3，BC＝2，cosC＝ ， 由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2−2BC⋅ACcosC＝9+4−2×3×2× ＝5，可得 AB＝ 所以 sinC＝ ＝ 因为由正弦定理 ， ，可得 所以 sinA＝ ． 故选：C． 3．如图，已知 ＝2 ，则 ＝（　　） ， ， ﹣ A． B．﹣ 解：由图可得 ＝ ， 又因为 ＝2 ，所以 ＝ 则 + （ ＝ + C． ＝ （ ）＝ + D．﹣ ﹣ ）， ， 故选：B． 4．设 a，b 是两条不同的直线，α 是平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 a∥α，b⊂α，则 a∥b C．若 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α D．若 a∥α，b∥α，则 b∥a 解：a，b 是两条不同的直线，α 是平面， 对于 A，若 a∥b，b⊂α，则 a∥α 或 a⊂α，故 A 错误； 对于 B，若 a∥α，b⊂α，则 a 与 b 平行或异面，故 B 错误； 对于 C，若 a∥b，a∥α，b⊄α，则由线面平行的判定定理得 b∥α，故 C 正确； 对于 D，若 a∥α，b∥α，则 b 与 a 相交、平行或异面，故 D 错误． 故选：C． 5．如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分 组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则 分数在[80，90）的人数为（　　） A．9 B．15 C．12 D．6 解：根据频率分布直方图可得，（0.006×3+0.01+0.054+x）×10＝1，解得 x＝0.018， ∵此次调查的样本容量为 50， ∴分数在[80，90）的人数为 0.018×10×50＝9． 故选：A． 6．如图所示，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1 ，BC1 的中点，则 EF 与 C1D 所成的角为（　　） A．30° B．45° 解：因为 ABB1A1 为正方 所以 E 既是 AB1 的中点，又是 A1B 的中点， 所以 EF∥A1C1， 所以 EF 与 C1D 所成的角为∠A1C1D， 而△A1C1D 为等边三角形， 所以∠A1C1D＝60°， 故 EF 与 C1D 所成的角为 60°， 故选：C． C．60° D．90° 7．在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 acosB+ b＝c，则 A＝（　　） A． B． 解：∵ C． D． ， ∴ 根 据 正 弦 定 理 得 ， ， 且 sinC ＝ sin （ A+B ） ＝ sinAcosB+cosAsinB， ， ∴ ，且 sinB≠0， ∴ ，且 A∈（0，π）， ∴ ∴ ． 故选：C． 8．如图所示，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥BC 且 PA＝BC＝1，PB＝AC＝ 下列命题正确的个数是 （　　） ① 平面 PAB⊥平面 PBC； ② 平面 PAB⊥平面 ABC； ③ 平面 PAC⊥平面 PAB； ④ 平面 PAC⊥平面 PBC； ⑤ 平面 PBC⊥平面 ABC； ⑥ 平面 PAC⊥平面 ABC． ，PC＝ ，则 A．3 B．4 解：因为 PA＝1，PC＝ ，AC＝ C．5 D．6 ，则 PA2+AC2＝PC2， 故 PA⊥AC，又 PA⊥BC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面 ABC， 则 PA⊥平面 ABC， 又