专题 06 超越不等式（方程） 【方法点拨】 含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等 式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决. 【典型题示例】 例 1 （2021·江苏无锡天一·12 月八省联考热身卷·7）已知点 P 为函数 f  x   ln x 的图象 2 � � 1� � 2 x � e � � y  1 上任意一点，则线段 上任意一点，点 为圆 � PQ 的长度的最小值为 Q � � e� � （ ） e2  1  e A． e 2e 2  1  e B． e e  e2  1 C． e D． e  1 1 e 【答案】A 【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与 f  x   ln x 相切的圆的半径与已知圆 的半径之差即为所求 如下图 设该圆与 f  x   ln x � 相切的切点为 Q ( x0 , ln x0 ) ln x0 1 �  1 � 1 � x0 则由导数的几何意义、圆的切线性质得 x0  � e � � e� � 1� x0 2  � e  �x0  ln x0  0 即 ，此为超越方程，应先猜根，易知 x0  e 为其中一个根 � e� � 1� � 1� 1 f ( x)  x 2  � e  �x  ln x f� ( x)  2 x  � e  �  0 设 ，则 ， f ( x ) 单调递减 � e� � e� x 故 x0  e 为其唯一的一个根，此时切点为  e,1 2 � � 1� � 2 e2  1  e e� e � 所以 的长度的最小值为 � ，故选 A. � 1  1  e PQ � � e� � 例2 已知函数 f ( x)  ex x 2  ax  a (a �R)，其中 e 为自然对数的底数，若函数 f ( x) 的定 义域为 R，且 f (2)  f (a ) ，求 a 的取值范围． 【答案】(2，4) 【解析】由函数 f(x)的定义域为 R，得 x2－ax＋a≠0 恒成立， 所以 a2－4a＜0，解得 0＜a＜4． 方法 1（讨论单调性） 由 f(x)＝\f(ex,x2－ax＋a，得 f'(x)＝\f(ex(x－a． ① 当 a＝2 时，f(2)＝f(a)，不符题意． ② 当 0＜a＜2 时， 因为当 a＜x＜2 时，f ′(x)＜0，所以 f(x)在(a，2)上单调递减， 所以 f(a)＞f(2)，不符题意． ③ 当 2＜a＜4 时， 因为当 2＜x＜a 时，f ′(x)＜0，所以 f(x)在(2，a)上单调递减， 所以 f(a)＜f(2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)． 方法 2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性） 由 f(2)＞f(a)，得\f(e2,4－a＞\f(ea,a． 因为 0＜a＜4，所以不等式可化为 e2＞\f(ea,a(4－a)． 设函数 g(x)＝\f(ex,x(4－x)－e2， 0＜x＜4． 因为 g'(x)＝ex·\f(－(x－2≤0 恒成立，所以 g(x)在(0，4)上单调递减． 又因为 g(2)＝0，所以 g(x)＜0 的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)． 例 3 已知函数 f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中 e 为自然对数的底，则满足 f(ex)＜0 的 x 的取值 范围为 ． 【答案】  0,1 【解析】易得 f(1)＝f(e)=0 ∵ f� ( x)  1  ∴当 x �(0, e  1) f� ( x)  0 ∴ e  1 x  (e  1)  x x ， f ( x)  0 f ( x) 时， 在 的解集是 f� ( x)  0 (e  1, �) ， f ( x) 在 (0, e  1) 单减；当 单增 1 x  e x  0,1 ． 令 1  e  e ，得 0  x  1 ，故 f(ex)＜0 的 x 的取值范围为 x �(e  1, �) 时， 【巩固训练】 1.已知函数 A. C. f ( x )  2 x  x  1 ，则不等式 f ( x)  0 的解集是（ ）． (1,1) B. (0,1) D. x 2. 关于 的不等式 3. 方程 x 2  ln x  1 �0 (�, 1) U (1, �) (�, 0) �(1, �) 的解集为___________. xe x  e ln x  e  0 的根是___________. 4.已知、分别是方程 x  x  1  0 、 x  5  5.已知实数 x、y 满足 x  的值是 6.不等式 5  x  1  0 的根，则＋的值是  . x 2  1 y  y 2  1  1 ，则 x 2  3 xy  4 y 2  6 x  6 y  2020 . 1 x   ln x �0 的解集是 x . 3 3 7.方程 x  1  2 x  3  3 x  4  0 的根是 . 【答案与提示】 1. 【答案】D 【分析】作出函数 【解析】因为 y  2x 和 y  x 1 f  x   2x  x  1 在同一直角坐标系中作出 的图象，观察图象可得结果. ，所以 y  2x 和 f  x  0 y  x 1 等价于 2  x  1 ， x 的图象如图： 两函数图象的交点 不等式 2x  x  1 所以不等式 2.【答案】 坐标为 的解为 f  x  0 x0 或 x 1 的解集为： (0,1), (1, 2) ， .  �, 0  � 1, � . [1, �) 【提示】设 f ( x)  x  ln x  1 ，则 2 f� ( x)  2 x  1 0 ， f (1)  0 ， f ( x ) 单增. x 3. 【答案】 1 【解析】设  ( x)  xe  e ln x  e ，则 x 因为  (1)  0 ，所以 � ( x)  ( x  1)e x  e 0 ，所以  ( x) 单调递增， x x 1. 4.【答案】－1 【提示】设 f ( x)  x5  x  1 ，则 f� ( x)  5 x 4  1  0 ， f ( x) 单增. 由 5   1  0 ，   5 代入  5    1  0 得 5  5  1  0 得  5    5 5 5.【答案】2020 【提示】两边取自然对数得 设  f ( x)  ln x  x 2  1    1  0 ，即     1  0 ，得＋＝－1.     ln x  x 2  1  ln y  y 2  1  0  ，则易得其为 R 上的单增奇函数 所以 x  y  0 ， 故 x  3 xy  4 y  6 x  6 y  2020  ( x  y )( x  4 y )  6( x  y)  2020  2020 . 2 2 6.【答案】 (0,1] 【解法一】显然 x  1 是方程 x 1  ln x  0 一个根 x 2 � 1� 2 �x  � 1 1 1 x  x  1 1 2 令 f ( x)  x   ln x ，则 f � ( x)  1  2    � 2�  0 2 x x x x x 故 f ( x) 在 (0, �) 单增，且 f (1)  0 1 x   ln x �0 所以不等式 的解集是 (0,1] . x 1 1 x   ln x �0 x  �ln x 【解法二】 变形为 x x 设 而 f ( x)  x  1 x ， g ( x )  ln x f ( x)  x  1 x 在 (0, �) 单减， g ( x )  ln x 在 (0, �) 单增，且图象均过（1,0） 1 x   ln x �0 所以不等式 的解集是 (0,1] . x 4 7.【答案】 3  【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性. 3 【解析】原方程可化为 设 f ( x)  3 x  1   x  1  3 2 x  3   2 x  3   0 x  x ，易得其为 R 上的单增奇函数 4  x  1   2 x  3  0 ， x   3 即为所求. 所以