2020~2021 学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位，复数 z  2  3i ，则 z 的虚部是（ A. 3i B. 3 C. ） 3i D. 3 【答案】D 2. 已知 A. C. f ( x )  x 2 cos x ，则其导函数为（ ） f� ( x)  2 x sin x B. f� ( x)  2 x cos x  x 2 sin x D. f� ( x)  2 x sin x f� ( x)  2 x cos x  x 2 sin x 【答案】C 3. 在 ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)( x  6) A. 21 B. 21 的展开式中， x5 的系数为（ C. 15 ） D. 15 【答案】A 4. 一个袋子里装有相同大小的黑球 8 个，红球 10 个，白球 2 个，每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球 不再放回.则在第 1 次摸到红球的条件下，第 2 次摸到白球的概率为（ 1 A. 10 1 B. 20 2 C. 19 ） 1 D. 19 【答案】C �1 � f� � 5. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x)  x f � (1)  ln x ，则 � �2 � （ ） 2 A. 1 【答案】B B. 1 C. 2 D. 2 6. 2021 年 4 月 21 日至 28 日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相， 使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代.某咨询公司做了关于新能 源车购买意向的调查，随机抽取了 100 份有效问卷统计得到下面的 2 �2 列联表，则根据列联表可知（ ） 愿意购买 不愿意购买 合计 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 2 附： K   n(ad  bc) 2 (a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) ，其中 n  a  b  c  d P K 2 �x0  x0 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A. 该抽样方式为分层抽样 B. 由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强 C. 没有 97.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 D. 有 99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 【答案】D 7. 甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行党史知识比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次（名次无重复），其中 前 2 名将获得参加市级比赛的资格.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比 赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5 人的排名有（ A. 24 B. 36 C. 60 ）种不同情况. D. 72 【答案】C � e x  ax  1, x �0 � f ( x)  � 3 2 8. 已知定义在 R 上的函数 �x  4 x  x  ax, x  0 恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A. (0,1) �(1,5) 【答案】A B. (0,1) C. (0, 5) D. (1, 5) 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. � 2� X ~ B �4, � 9. 设随机变量 � 3 �，则下列说法正确的有（ ） A. P( X  1)  8 81 C. X 的数学期望 B. P( X  2)  P( X  3) E( X )  8 3 D. X 的方差 D( X )  8 9 【答案】ACD 10. 设 z 为复数，则下列说法正确的有（ A. 实数集与虚数集 B. ） {0} 的 交集为 | z |2  zz C. 若 z  z  0 ，则 z 为纯虚数 D. 若 | z  1| 1 ，则 0� | z |�2 【答案】BD 11. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R， f (0)  1 A. 若 x1  x2 ，则 x1  x2  f  x1   f  x2  B. 若 x1  x2 ，则 x1  x2  f  x2   f  x1  C. 不等式 D. 方程 f ( x  1)  x  2 f ( x )  ln x  0 在 的解集为 (1, �) ，其导函数 f� ( x) 满足 f� ( x)  1 ，则下列说法正确的有（ ） (1, �) 上有解 【答案】AC 12. 已知 (1  2 x) n ( n �N * ) 的展开式中第 r  1 项的二项式系数记为 ar ，系数记为 br ， r  0,1, 2,L , n ，则下 列结论正确的有（ A. 当 n  2021 时， ） ar �a1009 B. 当 n  2021 时， n C. n �rar  n �2n1 D. r 0 �rb r r 0 br �b1347  2n � 3n 1 【答案】BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若 C16x  C163 x 8 ，则 x 的 值为________. 【答案】4 或 6 14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与 区间内某点的局部变化率的关系.其定理表述如下：如果函数 间 (a, b) 内可导，那么在开区间  f ( x) 成立，其中 称为函数 (a, b) 在闭区间 内至少有一个点 [ a, b ] f ( x) 在闭区间  ( a    b) 上的中值点，函数 [ a, b ] 使得等式 上的图象不间断，在开区 f (b)  f (a )  f � ( )(b  a ) f ( x)  x  sin x 在闭区间 [0, ] 为________  【答案】 2 15. 在复数范围内， 4 的所有平方根为________，并由此写出 4 的一个四次方根_________. 【答案】 . 2i ① � ②. 1  i ， 1  i ， 1  i ， 1  i 之一 16. 随机变量 X 的分布如下表所示： X 1 0 1 2 P 1 3 1 4 a b 若 E( X )  1 3 ，则 D ( X )  _________. 上的中值点 25 【答案】 18 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. z 17. 已知复数 z  m  ni(m, n �R ) 满足 2  i 为纯虚数， z  4i 为实数，其中 i 是虛数单位. （1）求实数 m，n 的值； （2）若复数 z1  z  2a   a 2  5  i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） m  2 ， n  4 ；（2） 1  a  1 . n 2 � � 18. 已知 � x  x 2 �的展开式中，第 2 项与第 4 项的二项式系数之比为 1:12. � � （1）求正整数 n 的值； （2）求展开式中的常数项. 【答案】（1） n  10 ；（2） 180 . 19. 新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者 等，下表是 2021 年 1 至 4 月份某市新增“微商电商”的统计数据： 月份 1 2 3 4 新增微商电商个数 90 105 125 140 （1）请利用所给数据求新增微商电商个数 y 与月份 x 之间的线性回归方程 ˆ a yˆˆ bx ，并预测该市 2021 年 5 月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）； （2）一般认为当 | r |�0.9 时，线性回归方程的拟合效果非常好；当 0.75 � | r | 0.9 合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由. n 附： bˆ  n �x y  nxy � x  x   y  y  i 1 n i �x i 1 2 i i  n( x )  2 i 1 i i n � x  x  i 1 i 2 ， ， ˆ â  y  bx 时，线性回归方程的拟 n r n � x  x   y  y  �xi yi  nxy  n �n 2 � � � xi  n( x )2 � yi2  n( y )2 � � � � � �i 1 � �i 1 � i 1 i i 1 n i n � x  x  � y  y  i 1 2 i 2 ， i i 1 ， 290 �17.0294 330 �18.1659 ， 370 �19.2354 . 【答案】（1） yˆ  17 x  72.5 ，158 个；（2）非常好，理由见解析. 1 f ( x )  x 3  mx 2  x 20. 已知函数 ， m �R . 3 （1）当 m 5 4 时，求函数 y  f ( x) 在区间 [0,3] 的最大值和最小值； f  x0   f ( m)  0. （2）若 f  x0  为 f ( x) 的一个极值，求证： x0  m 1 3 【答案】（1）最小值 3 ，最大值 4 ；（2）证明见解析  . 21. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展 招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于 的 服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖