3.3.1 抛物线及其标准方程 一、知识梳理 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 二．每日一练 一、单选题 1．已知双曲线的一条渐近线为 y  2 x ，且经过抛物线 方程为（ A． y 2  1 2 x 4 的焦点，则双曲线的标准 ）． x2 y  1 1 B． 4 2 x2 1 4 2．已知抛物线 C ： x  2 py 2 线 C 于 A 、 B .若 AB  9 A． x  3 y 2 3．抛物线 y  4 x2 C． x 2  y2 1 4 B． x  12 y 2 的焦点到双曲线 B． 2 D． 4x 2  y 2  1  p  0  的焦点为 F ，过点 F 且倾斜角为 45°的直线交抛物 ，则抛物线 C 的方程为（ 2 A． 2 y C． x2  y 2  1 x2  ） 9 y 2 渐近线的距离是（ 2 C． 16 D． x2  ） 2 D． 32 1 y 6 4．若抛物线 y 2  8x 3 A． 7 上一点 到其焦点的距离为 8m ，则 m  （ P ( m, n) 4 C． 7 2 B． 7 ） 5 D． 7 A  3, y0  5．若抛物线 y  2 px( p  0) 上的点 到焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 3 倍， 2 则 y0 等于（ ） 6 B． � 6 2 A． � 12 2 C． � 12 D． � x2 y2  1 6．若抛物线 y 2  2 px 的焦点与双曲线 5 的右焦点重合，则 p 的值为（ 3 A． 4 2 7．抛物线 C． 2 B． 2 y 2  2 x 的准线方程为（ D． 2 2 ） B． y  1 A． x  1 ） C． x 1 2 D． x 1 2 2 AF  BF  6 8．已知 F 是抛物线 y  4 x 的焦点， A, B 是该抛物线上的两点， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） 3 A． 2 5 B． 1 C． 2 D． 2 二、多选题 x2 y 2  1 9．已知抛物线 C1 ： y 2  8 x 的焦点 F 与双曲线 C2 ： 2 的右焦点重合，且 C1 与 t C2 交于 A ， B 两点，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线的离心率 e  C． AF  6  3 2 10．设抛物线 C:x 2 B．抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 2 D．在抛物线上存在点 P 使得 △ PAB 为直角三角形 1 2 y 4 的焦点为 F ，则下列说法正确的是（ ） A．点 F 在 x 轴上 B．点 F 的坐标为 C．设过点 (0, 1 ) 16 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P, Q 两点，则 | PQ | 8 2 uuuu r uuur D．设过点 ( 2, 0) 且斜率为 3 的直线与抛物线 C 交于 M , N 两点，则 FM � FN  8 11．(多选)对抛物线 y=4x2，下列描述正确的是（ ） A．焦点坐标为(0，1) � 1� 0, � B．焦点坐标为 � � 16 � 1 C．准线方程为 y=- 16 D．准线方程为 y=-1 12．已知方程 A．当 B．当 mx 2  ny 2  1(m, n �R ) mn0 mn0 ，则下面四个选项中正确的是（ 时，方程表示椭圆，其焦点在 时，方程表示圆，其半径为 y ） 轴上 n m x C．当 mn  0 时，方程表示双曲线，其渐近线方程为 y  �  n � D．方程表示的曲线不可能为抛物线 三、填空题 2 AF  3 13．已知抛物线 C ： x  4 y 的焦点为 F ，抛物线 C 上一点 A 满足 ，则以点 A 为圆心， AF 为半径的圆被 x 轴所截得的弦长为______． x2  14．已知双曲线 y2 1 的一个焦点与抛物线 8 x  y 2  0 的焦点重合，则该双曲线的 m 离心率为__________. 1 C : y  x2 15．已知抛物线 8 上的点 M 到焦点的距离为 5，则点 M 到 y 轴的距离为_____ ______. 16．在平面直角坐标系 P  2, 4  xOy O ，且过点 ，则该抛物线的方程是______. 四、解答题 17．如图，已知 F 是抛物线 且 x 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 MF  2 y 2  2 px  p  0  的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点， ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点 F 的直线交抛物线与 A､B 两点，斜率为 2 的直线 l 与直线 依次交于点 P，Q，R，N，且 RN 18．已知抛物线 x  1 2 MA, MB, AB ，x 轴  PN � QN ，求直线 l 在 x 轴上截距的范围. C : y 2  2 px  9  0 的焦点为 F，C 上一点 G 到 F 的距离为 5，到直线 的距离为 5. （1）求 C 的方程； （2）过点 F 作与 x 轴不垂直的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，再过点 A，B 分别作直线 l 的 垂线，与 x 轴分别交于点 P，Q，求四边形 APBQ 面积的最小值. 19．已知 F 为抛物线 C：x2=2py(p>0)的焦点，点 M 在抛物线 C 上，O 为坐标原点， 9 △OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 4  . （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 A(2，1)，B 是抛物线 C 上异于 A 的一点，直线 AB 与直线 y=x-2 交于点 P，过 点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N，证明：直线 BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标. 20．已知直线 l : y  kx  2 C : x 2  2 py ( p  0) 与抛物线 相交于 A，B 两点，当 k  1 时， 5 2 在 C 上有且只有三个点到 l 的距离为 4 ． （1）求 C 的方程： （2）若点 P 在直线 y=-2 上，且 BP 与 y 轴平行，求证：直线 AP 恒过定点． 1 1 5 ( , ) 21．已知抛物线 C 的方程为 y  2 px( p  0) ，它的焦点 F 到点 M 3 2 的距离为 6 . 2 （1）求抛物线 C 的方程； （2）A､B､D 是抛物线 C 上不同三点，且△ABD 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，求 SVABD 的最小. 22．已知抛物线 C : x 2  my( m  0) 的焦点 F 到其准线的距离为 1. （1）求抛物线 C 的方程； （2）过 F 的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，在 A，B 处分别作 C 的切线，交点为 P. （i）证明： AB  FP ； （ii）若直线 FP 交 C 于 M，N 两点(M 在线段 FP 上)，求四边形 AMBN 面积的最小值. 参考答案 y2 x  m 1．B 因为双曲线的一条渐近线为 y  2 x ，故可设双曲线的方程为 （ m �0 4 2 ）， 又因为双曲线经过抛物线 y 1 2 1 x y  x2 4 的焦点，而抛物线 4 的焦点为  0,1 ，所以有 x2 y  1 1 1 y2 1 1 .   m ，即 m   ，所以有 x 2    ，所以双曲线的标准方程为： 4 4 4 4 4 2 p � �y  x  , 2 消去 得 p ，联立方程组 � 2．C 由已知得直线 的方程为 2 yx � �x  2 py x 2 AB y 2  3 py  p2  0 .设 A  x , y  B  x , y  1 1 ， 2 2 ，由韦达定理知 y1  y2  3 p .因为 AB  9 ， 4 所以 y1  y2  p  9 ，所以 4 p  9 ，即 p 9 9 x2  y 4 ，所以所求抛物线 C 的方程为 2 . � 1� F� 0, � 2 2 3．D 抛物线 y  4 x 的焦点为 � 16 �，双曲线 x  y  1 的渐近线方程为 x �y  0 ， 2 1 16  2 . 因此，抛物线 到双曲线 2 的渐近线的距离为 d  2 的焦点 2 y  4x x  y 1 2 32 F 4．B 若抛物线 y 2  8x 的准线方程： x  2 ，由抛物线的定义得： 2 PF  m   2   m  2  8m ，解得： m  7 .. A  3, y0  5．A 由题意，抛物线 y  2 px 上的点 到焦点的距离是点 A 到 y 轴距离的 3 倍， 2 可得 3 代入得 p 9 2 2 ，解得 p  12 ，所以 y  24 x ，又由点 A  3, y0  )在抛物线 y  24 x 上， 2 y0 2  72 ，解得 y0  �6 2 . �p � x2 y2 ,0�   1 的右焦点为 2 2, 0 ，因为 � 6．A 抛物线 y  2 px 的焦点为 �2 � ，双曲线 5 3  2  p 2 2 抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以 2 ，p4 2， 7．D 由抛物线方程可得 p  1 ，开口向左，则准线方程为 x 1 2. F 1, 0  8．C 因为 F 是抛物线 y  4 x 的焦点，所以  ，准线方程 x  1 ，设 2 A  x1 , y1  , B  x2 , y2  ，所以 AB 2 AF  BF  x1  1  x2  1  6 的中点横坐标为 ，所以线段 AB 的中点到 y ，所以 x1  x2  4 ，所以线段 2 轴的距离为 ． x2 y2  1 9．ACD 对于选项 A：依题意得