2021 年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷 一、单项选择题（每小题 5 分）. 1．若复数 z 满足 2z+ ＝3﹣2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．已知集合 P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则 P∩Q＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0} 3．圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0 的圆心到直线 ax+y﹣1＝0 的距离为 1，则 a＝（　　） A．﹣ B．﹣ C． D．2 4．设 a，b 是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的 面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底 面正方形的边长为 26 米，高为 9 米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在 底 30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为 30°，正四棱锥顶点的影 子到长方体下底面最近顶点的距离为 11.8 米，则图书馆顶部的面积大约为（　　）平方 米（注： A．990 ， ， B．890 ） C．790 D．690 6．已知非空集合 A，B 满足以下两个条件： （i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝∅； （ii）A 的元素个数不是 A 中的元素，B 的元素个数不是 B 中的元素，则有序集合对 （A，B）的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 ，则 a，b，c 大小关系为（　　） 7．已知实数 a，b，c∈R，满足 A．a＞b＞c B．a＞c＞b 8．已知△ABC 中，AB＝2BC＝4，AC＝2 D．10 C．b＞c＞a D．b＞a＞c ，点 M 在线段 AC 上除 A，C 的位置运动，现 沿 BM 进行翻折，使得线段 AB 上存在一点 N，满足 CN⊥平面 ABM；若 NB＞λ 恒成立， 则实数 λ 的最大值为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快 掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续 8 周对有害垃圾错误分类情况进行了调查． 经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位： 周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结 论正确的是（　　） A．当 x∈[0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B．当 x∈[2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C．当 x∈[4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当 x∈[2，4）时增长了 30% D．当 x∈[6，8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当 x∈[0，2）时减少了 0.6 吨 10．如果平面向量 A．| |＝3| | ，那么下列结论中正确的是（　　） B． C． 与 的夹角为 30° D． 在 方向上的投影为 11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB（A 为塔顶，B 为塔底）的高度，选取 与 B 在同一水平面内的两点 C 与 D（B，C，D 不在同一直线上），测得 CD＝s．测绘兴 趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC， 则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是（　　） A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC 12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是 许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线 称为“∞曲线”．在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之 积等于 a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点 P（x0，y0）是“∞曲线”C 上一点， 下列说法中正确的有（　　） A．“∞曲线”C 关于原点 O 中心对称 B． C．“∞曲线”C 上满足|PF1|＝|PF2|的点 P 有两个 D．|PO|的最大值为 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上） 13．在（2 14．已知 + ）6 的展开式中，常数项等于　 　． 是函数 f（x）＝asinx+bcosx（a＞0）的对称轴，则 f（x）的对称中心为 ． 15．定义函数 f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝ ﹣2，[2]＝2．当 x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为 An．记集合 An 中元素的个数 为 an，则 值为　 16．若关于 x 的方程 　． +x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，则正数 a 的取值范围是 ． 四、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．△ABC 的内角 A，B、C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 ＝（c﹣a，sinB）， ＝ （b﹣a，sinA+sinC）且 ∥ ． （1）求 C； （2）若 ，求 sinA． 18．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a3＝8，S5＝2a7． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足 ，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n． 19．如图 1，在等边△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的动点且满足 DE∥BC，记 ．将△ADE 沿 DE 翻折到△MDE 的位置并使得平面 MDE⊥平面 DECB，连接 MB，MC 得到图 2，点 N 为 MC 的中点． （1）当 EN∥平面 MBD 时，求 λ 的值； （2）试探究：随着 λ 值的变化，二面角 B﹣MD﹣E 的大小是否改变？如果是，请说明 理由；如果不是，请求出二面角 B﹣MD﹣E 的正弦值大小． 20．已知函数 f（x）＝lnx﹣a（1﹣ ）+1（a∈R）． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）＞0 在（1，+∞）上恒成立，求整数 a 的最大值． 21．已知椭圆 ＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为 ，离心率为 ，过椭 圆 C 的左焦点 F1 作不与 x 轴重合的直线 MN 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，过点 M 作直线 m：x＝﹣2a 的垂线 ME，E 为垂足． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）①已知直线 EN 过定点 P，求定点 P 的坐标． ② 点 O 为坐标原点，求△OEN 面积的最大值． 22．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统 G 有 2n﹣1 个电子元件组成， 各个电子元件能正常工作的概率均为 p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系 统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统 G 可以正常工作，否则就需维修． （1）当 n＝2，p＝ 时，若该电子产品由 3 个系统 G 组成，每个系统的维修所需费用为 500 元，设 ξ 为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求 ξ 的分布列与数学期望； （2）为提高系统 G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每 个新元件正常工作的概率均为 p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系 统 C 可以正常工作，问 p 满足什么条件时，可以提高整个系统 G 的正常工作概率？ 参考答案 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的. 1．若复数 z 满足 2z+ ＝3﹣2i，其中 i 为虚数单位，则 z＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 解：复数 z 满足 2z+ ＝3﹣2i， 设 z＝a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i． 解得 a＝1，b＝﹣2． z＝1﹣2i． 故选：B． 2．已知集合 P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则 P∩Q＝（　　） A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0} 解：集合 P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}， Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}， ∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}． 故选：C． 3．圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0 的圆心到直线 ax+y﹣1＝0 的距离为 1，则 a＝（　　） A．﹣ B．﹣ C． 解：圆 x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0 的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线 ax+y﹣1＝0 的距离 d＝ 解得：a＝ 故选：A． ， ＝1， D．2 4．设 a，b 是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：因为 a，b 都是实数，由 a＞b，不一定有 a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣ 3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件； 反之，由 a2＞b2 也不一定得 a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是 “a2＞b2”的不必要条件． 故选：D． 5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的 面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底 面正方形的边长为 26 米，高为 9 米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在 底 30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为 30°，正四棱锥顶点的影 子到长方体下底面最近顶点的距离为 11.8 米，则图书馆顶部的面积大约为（　　）平方 米（注： A．990 ， ， B．890 ） C．790 D．690 解：如图 1，根据题意得：∠PSO＝30°，CC1＝9，SC1＝11.8，AB＝26， 所以 ，故 SO＝SC1+C1O＝11.8+18.2＝30， 故在 Rt△PSO 中，设 PO＝x，则 PS＝2x，SO＝30， 所以|SO|2+|OP|2＝|SP|2