2.2 双 曲 线 一、双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于______________ (小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫 做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 双曲线的集合描述：设点 M 是双曲线上任意一点，点 F1，F2 是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知， 双曲线就是集合 P＝{M｜||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}． 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： x2 y2 （ 1 ） 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 2  2  1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0) ， 焦 点 分 别 为 F1( － a b c，0)，F2(c，0)，焦距为 2c，且 c  ______________，如图 1 所示； 2 （2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y 2 x2   1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0) ， 焦 点 分 别 为 F1(0 ， － a2 b2 c)，F2(0，c)，焦距为 2c，且 c  ______________，如图 2 所示． 2 图1 图2 注：双曲线方程中 a，b 的大小关系是不确定的，但必有 c＞a＞0，c＞b＞0． 三、双曲线 x2 y2   1(a  0, b  0) 的简单几何性质 a 2 b2 y 2 x2 x2   1 � 0 1．范围：易知 2 ，故 2 �1 ，即 或 ．故双曲线在不等式 与 所表 x �a x �a x �a x �a b a2 a 示的区域内． 2．对称性：双曲线关于______________、______________和______________都对称．原点为双曲线的对 称中心，也称为双曲线的中心． 3．顶点：双曲线与 x 轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．两 个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为 2a． 注：双曲线 x2 y2   1 (a＞0，b＞0)与 y 轴没有交点，我们将两点(0，－b)，(0，b)间的连线段称为双 a2 b2 曲线的虚轴，长为 2b． 4．渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线 y  ____ x 逐渐接近，但永不相交，这两条直线称 为双曲线的渐近线． 5．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率． 注：离心率 e 反映双曲线开口的程度，e 越大，双曲线的开口越大；e 越小，双曲线的开口越小． 四、双曲线 x2 y2 y 2 x2   1   1(a  0, b  0) 的几何性质比较 ， a2 b2 a 2 b2 x2 y2   1 (a＞0，b＞0) a2 b2 y 2 x2   1 (a＞0，b＞0) a2 b2 范围 |x| �a ， y �R |y| �a ， x �R 对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点 焦点 左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 标准方程 图形 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c) A1 (  a, 0), A2 ( a, 0), B1 (0, b), B2 (0, b) 顶点 A1 (0, a ), A2 (0, a ), B1 (b, 0), B2 (b, 0) 轴 线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y  ____ x 离心率 e e y  ____ x 2c c  2a a (e  1) 五、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： 1．方程形式为 x  y   ( �0) ； 2 2 2．渐近线方程为 y  �x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； 3．实轴长和虚轴长都等于 2a ，离心率 e  ______________． 一、常数 b a 四、 � 二、 a � b a b 2 2 五、 a b 2 2 三、x 轴 y 轴 原点 b � a 2 帮—重点 双曲线的定义、标准方程及简单几何性质 帮—难点 双曲线标准方程的应用（以双曲线的标准方程为载体，与其他知识综合） 帮—易错 易忽略双曲线定义中的限制条件及隐含条件、表示双曲线的条件、对焦点所在 位置的讨论、直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况 1．方程表示双曲线的条件 对于方程 x2 y 2 表示焦点在 x 轴上的双曲线 � m  0, n  0  1 m n 表示焦点在 y 轴上的双曲线 � m  0, n  0 ( mn �0) 表示双曲线 � mn  0 x2 y2   1， 对于方程 m  6 | m | 10 （1）若该方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围为______________； （2）若该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围为______________； （3）若该方程表示双曲线，则实数 m 的取值范围为______________． 【答案】（1）(－6，10)；（2）(－∞，－10)；（3）(－6，10)∪(－∞，－10)． m6 0 � ，解得 ，故实数 m 的取值范围为(－6，10)． | m | 10  0 6  m  10 � 【解析】（1）由题意可知 � �m  6  0 ，解得 ，故实数 m 的取值范围为(－∞，－10)． | m | 10  0 m  10 � （2）由题意可知 � （3）由题意可知 (m  6)(| m | 10)  0 ，解得 6  m  10 或 m  10 ， 故实数 m 的取值范围为(－6，10)∪(－∞，－10)． 【名师点睛】对于形如：Ax2＋By2＝1(AB＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情 况，当 B＜0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 A＜0 时，表示焦点在 y 轴上的双曲线． 2．双曲线的定义及其标准方程的应用 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若 已知该点到另一焦点的距离，则根据 | | PF1 |  | PF2 | |  2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数 应该舍去，且所求距离应该不小于 c  a )． x2 y 2   1 的两个焦点． 如图，若 F1，F2 是双曲线 9 16 （1）若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离； （2）若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1||PF2|＝32，试求 △ F1 PF2 的面积． 【答案】（1）10 或 22；（2） 16 ． 【解析】双曲线的标准方程为 x2 y 2   1 ，故 ， ， ． 2 2 a 3 b  4 c  a b 5 9 16 （1）由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6， 又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x， 则 16  x  6 ，解得 x  10 或 x  22 ．由于 c  a  5  3  2 ， 10  2 ， 22  2 ， 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22． 2 2 （2）将 | | PF1 |  | PF2 | |  6 两边平方，得 | PF1 |  | PF2 | 2 | PF1 || PF2 | 36 ， 2 2 所以 | PF1 |  | PF2 |  36  2 | PF1 || PF2 | 100 ， 在 △ F1PF2 中，由余弦定理得 cos ∠ F1 PF2  1 | PF1 |2  | PF2 |2  | F1 F2 |2 100  100  0， 2 | PF1 || PF2 | 2 | PF1 || PF2 | 1 所以∠ F PF  90�， △ F PF 的面积 S  | PF1 || PF2 | �32  16 ． 1 2 1 2 2 2 【名师点睛】在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 | | PF1 |  | PF2 | |  2a 的应用；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和 一些变形技巧的应用． 3．由双曲线的标准方程研究简单几何性质 求双曲线 4 y 2  9 x 2  4 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该 双曲线的草图． 【答案】见解析． x2 y 2  1 4 2 ，半虚轴长 【解析】将双曲线方程化成标准方程 4 ，可知半实轴长 ， 1 a  9 3 b 1 9 于是有 c  a 2  b2  所以焦点坐标( � 4 13 1  ， 9 3 13 c 13 b 3 ，0)，离心率为 e   ，渐近线方程为 y  � x ，即 y  � x ． 3 a 2 a 2 3 2 2 3 首先在坐标系中画出渐近线 y  � x ，顶点( � ，0)，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比 如取 y 1 ，算出 x  2 2 2 �0.94 ，可知点(0.94，±1)在双曲线上，将三点 (0.94，－1)，( ，0)， 3 3 (0.94，1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、四象限内双曲线的一支，最后由对称性 可画出位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如下图所示． 【名师点睛】已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把 方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准 a 和 b，才能正确地写出焦点坐标、 顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较． 4．求双曲线的标准方程 （1）一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定 a，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶 点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合 c  a b 2 2 2 及e  c 列关于 a，b 的方程(组)， a 解方程(组)可得双曲线的标准方程． （2）已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论 ， 可设双曲线方程为 x2 y