考点 47 排列组合 【命题解读】 排列组合是高考必考的知识点之一，主要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类 讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活,能否将实际问题合理、 正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。 【命题预测】 预计 2021 年的高考排列组合主要考查分类讨论思想和转化思想，主要以接近生活的实 际情况为主，多以选择或填空为主。 【复习建议】 1.理解排列组合的概念； 2.会运用排列组合计算题目。 考向一　排列问题 1.排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列. 2.排列数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从 n 个不同元素中取 m 出 m 个元素的排列数.用符号“ A n ”表示 . n! * A mn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ( n - m)! (n,m∈N ,且 m≤n) A nn =n!; 0!=1 1 1. 【2020 广东广州市高三月考】在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫 情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同 发言顺序共有（ ） A．8 种 B．12 种 C．20 种 D．24 种 【答案】C 【解析】当甲排在第一位时，共有 A33 A22  12 种发言顺序， 1 2 2 当甲排在第二位时，共有 C2 A2 A2  8 种发言顺序， 所以一共有 12  8  20 种不同的发言顺序. 故选：C. 5 2. 【2020 江苏如皋市高三期中】 人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相 邻)的排法总数为（ A． 30 ） B． 60 C． 120 D． 240 【答案】B 【解析】先 5 人全排列有 A55  120 种不同的排法， 甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同， 1 5 1 A5  �120  60 所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为 2 种. 2 故选：B 考向二 组合问题及综合问题 1.组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，合成一组. 2.组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从 n 个不同元素中取 m 出 m 个元素的组合数.用符号“ Cn ”表示 . 2 Cmn = n n( n - 1 )( n- 2)…( n - m+1 ) n! * = m! m!( n - m)! (n,m∈N ,且 m≤n) 0 Cn = Cn =1; m n- m Cn = Cn m m m -1 Cn +1 = Cn + Cn ; m Cn = A mn m! 1. 【2020 全国高三其他】模拟琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族 乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周 末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种 乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻 的概率为（ ） 1 A． 360 1 7 1 B． 6 C． 15 D． 15 【答案】B 【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为 乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有 A75 3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有 三种乐器互不相邻的情况种数为 所以所求的概率 P A75 A63 A108 ．从除琵琶、二胡、编钟三种 种情况，再从排好的五种乐器形成的 6 个空中挑 A63 种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这 ． A75 A63 1  A108 6， 故选：B． 2. 【2020 全国高三月考】在应对某突发公共卫生事件中，某公司研究决定采用“办公室+远 程协作”的办公方案，结合管理实际情况，对于符合办公室工作的员工，计划工作日内每天 安排 2 位员工在办公室办公（每位员工每周仅在办公室办公 2 天）．已知该公司有 5 位员 工符合条件，其中甲、乙两人必须安排在周一、周二两天同时办公，其余 3 位员工随机安 3 排，则不同的安排方法有（ A．6 种 ） B．8 种 C．9 种 D．12 种 【答案】A 【解析】记剩余的 3 位员工分别为 a、b、c，由题意可知，这 3 位员工只能安排在周三、周 四、周五在办公室办公，所有的安排方法有（ab，ac，bc），（ab，bc，ac）， （ac，ab，bc），（ac，bc，ab），（bc，ac，ab），（bc，ab，ac），共 6 种， 故选：A． 3. 【2021 福建高三其他模拟】某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所 示正方形 ABCD （边长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的 边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为 i  i  1, 2, � � � , 6 ，则棋子就按逆时针 方向行走 i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 A 处的所有 不同走法共有（ A．21 种 ） B．22 种 C．25 种 D．27 种 【答案】D 【解析】由题意，正方形 ABCD ① 点数之和为 8 的情况有： 1,1, 6 C31  A33  A33  C31  C31  21 ② 点数之和为 16 的情况有： 的周长为 8，抛掷三次骰子的点数之和为 8 或 16， ； 1, 2,5 ； 1,3, 4 ； 2, 2, 4 ； 2, 3,3 ，排列方法共有 种； 1 1 4, 6, 6 ； 5,5, 6 ，排列方法共有 C3  C3  6 种. 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点 A 处的所有不同走法共有 21  6  27 种. 4 故选：D. 题组一（真题在线） 1. 【2020 年新高考全国Ⅰ卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有 A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种 2. 【2020 年高考全国 II 卷理数】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只 去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种． 3. （2020·广东高三月考）8 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各 需三名医生，丙需两名医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ A．280 种 B．350 种 C．70 种 4. 【2020 全国高三其他模拟（理）】某公司为了调查产品在 ） D．80 种 A ， B ， C 三个城市的营销 情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市，每个城市必须有人去，且甲乙 不能去同一个城市，则不同的派遣方法有（ A．30 种 B．24 种 ） C．18 种 D．6 种 5. 【2020 全国高三其他模拟】高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留 念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为（ A．4 B．8 C．16 ） D． 24 6. 【2020 陕西西安市高新一中高三期末（理）】某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊 5 名学 生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲、乙两名参赛者去询 问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差 的”从这个回答分析，5 人的名次排列情况可能有（ A．36 种 B．54 种 ） C．58 种 D．72 种 7. 【2020 全国高三其他模拟】中秋节是中国传统佳节，赏花灯是常见的中秋活动.某社区拟 5 举办庆祝中秋的活动，购买了 C A, B, C 三种类型的花灯，其中 种花灯 1 个，现从中随机抽取 4 个花灯，则 A, B, C A 种花灯 4 个， B 种花灯 5 个， 三种花灯各至少被抽取一个的情况种 数为______. 8. 【2020 江西高三二模（理）】某地区高考改革，实行“ 3  2 1 3 ”模式，即“ ”指语文、数 学、外语三门必考科目，“ 1 ”指在物理、历史两门科目中必选一门，“ 2 ”指在化学、生物、 政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名 学生的不同选科组合有_______.（用数字作答） 9. 【2020 济南市历城第二中学高三月考】2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱 贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 5 名党员和 3 名医护人员到三个 不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各 1 名，则所有不同的分 派方案种数为________________.（用数字作答）． 10. 【2020 云南师大附中高三月考（理）】作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司 通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图 所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从 而一共可以有 512 种不同的颜色组合，即代表 512 种不同的信息.现要求每一行，每一列上 至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作 答） 题组一 1.C 6 【解析】首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆，方法数有 然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆，方法数有 C16 C52 ； ； 3 最后剩下的 名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 C16 � C52  6 �10  60 种. 故选：C． 2. 36 【解析】Q 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小 区至少安排 1 名同学， 2  先取 2 名同学看作一组，选法有： C4  6 . 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 故答案为： 36 A 33  6 6 �6  36 ， 种， . 3. B 【解析】若医生 a 去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得 若医生 a 去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派