5.2 任意角的三角比（一）（教案）（2 课时） 教学目标： (1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 α 的 正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； (2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角 α 的条件要求； (3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万 化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑． 教学重点：任意角的三角比的定义． 教学难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值． 教学过程 一、引入 复习：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角  的对边、邻边与斜边之 P 间两两的比值来定义的.例如： sin   MP OP cos   OM MP tan   OP OM cot   OM MP O  M 把锐角  置于平面直角坐标系 xOy 中，锐角  的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合， 那 么 它 的 终 边 在 第 一 象 限 . 易 知 P 在 角  的 终 边 上 ， 设 它 的 坐 标 为 ( x, y ) ， 它 与 原 点 的 距 离 r  x 2  y 2  0 ，由锐角三角比的定义，得 sin α = 角α 的对边 QP y = = 斜边 OP r cos α = 角α 的邻边 OQ x = = 斜边 OP r tan α = 角α 的对边 QP y = = 角α 的邻边 OQ x cot α = 角α 的邻边 OQ x = = 角α 的对边 QP y 发现作为锐角  的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，今天我们用这种方法来定义任意角的三 角比. 二、任意角三角比的定义 设 α 是一个任意角，在 α 的终边上任取一点 r  x2  y 2  0 ， 比值 y α 的正弦 记作： r 叫做 sin α = y r 比值 x α 的余弦 记作： r 叫做 cos α = x r 比值 y α 的正切 记作： x 叫做 tan α = y x P ( x, y ) （除原点），则 P 与原点的距离 比值 x α 的余切 记作： y 叫做 cot α = x y 比值 r α 的正割 记作： x 叫做 sec α= r x 比值 r α 的余割 记作： y 叫做 csc α= r y 提问 1：对于确定的角  ，这六个三角比值的大小与 P 点在角  终边上的位置是否有关？ 利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角  ，这六个三角比值的大小与 P 点在角  的终边上的位 置无关． 提问 2：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角  ，它的六个三角比都存在呢？ (1) 当角 α 的终边在纵轴上时，即 tan  、 sec    k  无意义； (2) 当角 α 的终边在横轴上时，即 cot  、 csc   (k �Z ) 时，终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0，所以 2   k ( k �Z ) 时，终边上任意一点 P 的纵坐标 y 都为 0，所以 无意义. sin  cos  从而有： tan  R R π α ≠ kπ + (k ∈ Z) 2 cot  sec  csc  α ≠ kπ (k ∈ Z) π α ≠ kπ + (k ∈ Z) . 2 α ≠ kπ (k ∈ Z) 说明： (1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合. (2) OP 是角 α 的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，只有这样，才能说明角 α 是 任意的. (3) sin  是个整体符号，不能认为是“ sin ”与“ α ”的积，其余五个符号也是这样. (4) 三角比值只与角的大小有关. (5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别: 任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的 ， 锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比 是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 三、例题 例 1、已知角 α 的终边经过点 P(2, 3) ，求 α 的六个三角函数值. y r 答： sin α = = −3 3 13 =− √ 13 √ 13 x 2 cot α = =− y 3 y 3 tan α = =− x 2 x 2 2 13 cos α = = = √ r √ 13 13 r 13 sec α= = √ x 2 r 13 csc α= =− √ y 3 提问：若将 P(2, 3) 改为 P (2 a, 3a )( a �0) ，如何求  的六个三角函数值呢？（注意：分 a  0 和 a  0 两种情况进行讨论） 例 2 求角 7π 4 的正弦、余弦和正切的值。 例 3、对于终边与坐标轴重合的角，可在他们的终边上取点 P，由点 P 的坐标得到它们的三角比，见 表， α 点P坐 sin α cos α tan α cot α 0 不存在 sec α csc α 标 0 π 2 π 3π 2 ( 1,0 ) 0 1 1 不存在 ( 0,1 ) ( −1,0 ) ( 0 , −1 ) 四、课堂练习 1、若角 α 的终边过点 P(−3,0) ，则下列值不存在的是 (C) sec α (D) cot α （A） sin α （B） cos α 2、已知角已知角 α 的终边经过点 (−3,4) ，求 α 的六个三角函数值. （ ） 3、求 5π 6 的六个三角比的值。 4、填表 α sin α cos α tan α cot α sec α csc α π 2 −π − 五、三角比的一种几何表示 （一）单位圆和有向线段 (1) 单位圆：半径等于单位长度 1 的圆叫做单位圆. (2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段. 设任意角  的顶点在原点 O ，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P ( x, y ) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，设它与角  的终边（当  在第一、四象限角 时）或其反向延长线（当  为第二、三象限角时）相交于 T . 规定：当 OM 与 x 轴同向时为正值，当 OM 与 x 轴反向时为负值； 当 MP 与 y 轴同向时为正值，当 MP 与 y 轴反向时为负值； 当 AT 与 y 轴同向时为正值，当 AT 与 y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则 OM  x , MP  y ,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin   y y   y  MP r 1 cos   x x   x  OM r 1 tan   y MP AT    AT x OM OA （二）三角线定义 这几条与单位圆有关的有向线段 MP, OM , AT 叫做角  的正弦线、余弦线、正切线．当角  的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角  的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不 存在． cot 5 5 5  1 sec   2 csc  2 4 4 4 ， ， . （三）例题  例 1：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线 (1) 3 如图，正弦线、余弦线、正切线分别为 MP, OM , AT ． (2)  2 3 例 2.求证：当  为锐角时， sin     tan  ．  2 时作出正弦线 MP 和正切 线 AT ，连 PA ， 证明：如右图，作单位圆，当 1 1 1 � Q SOPA  S扇形OPA  SOAT  2 OA �MP  2 OA �PA  2 OA �AT ， 0  　　  sin     tan  （四）课堂练习 1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线，并通过测量它们的长度写出其正弦值、余弦值、正切值。 （1） π 3 （2） − 2π 3 2、已知角 α 的终边上有一点 P(3 t , 4 t)(t ≠ 0) ，求角 α 的六种三角比。