2020-2021 学年度第一学期期末考试 高一数学 考生须知： 1．本试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将 “条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸 上、试题纸上答案无效． 4．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 集合 A. A   0,1 , B   1, 2,3  1 B. ，则 A I B  （ ）  2,3 C. 【答案】A 2. 已知命题 p : x  0, x 2  x  1  0 ，则 �p 为（ ）  0, 2,3 D.  0,1, 2,3 A. x  0, x 2  x  1 �0 B. x  0, x 2  x  1 �0 C. x  0, x 2  x  1 �0 D. x  0, x 2  x  1 �0 【答案】C 3. 用“反证法”证明不等式 3  7  2 5 首先应该（ ） A. 假设 3  7  2 5 B. 假设 3  7 �2 5 C. 假设 3  7 �2 5 D. 假设 3  7  2 5 【答案】B 4. 人们通常以分贝(符号是 为 f  x  dB ，则有 为 A. 30dB dB x )为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为 的声音对应的等级 f  x   10 lg x 1�1012 ，一架小型飞机降落时，声音约为 100dB ，轻声说话时，声音约 ，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（ 1000 B. 105 C. 107 ）倍 D. 108 【答案】C 5. 三个数 A. a  log3 0.2, b  0.23 , c  20.3 abc B. cab 的大小顺序是（ C. ） acb D. bca 【答案】A 6. 设 f  x  是定义在 R 上的偶函数，当 x �0 时， f  x   2 x  x ，则 f  x  1  20 的解集为（ 2 A.  �,5 B.  0, 4  C.  2, 4  D. ）  3,5 【答案】D uuur uuu r ABCD O 是 DO 于点 M ．且 DE   2 CE E 7. 在平行四边形 中，点 满足 ，且 边 AB 中点，若 AE 交 uuuu r uuu r uuur AM   AB   AD ，则     （ ） 3 A. 2 5 C. 3 5 B. 7 3 D. 4 【答案】B �  x 2  2 x, x �0 � f x  8. 已知函数   �log x , x  0 ，函数 g  x   f  x   a  a �R  ，若 g  x  有四个不同的零点 � 2 x1 , x2 , x3 , x4 ，且满足 x1 <x2 <x3 <x4 ，则 � 7� 0, � B. � ． � 2� A.  1, � x3  x1  x2   1 x32 x4 的取值范围是（ ） � 7� 1, � C. � � 2� D.  1,1 【答案】D 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9. 2020 7 年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请 名评委为选手评分，评分规则是去掉 一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则 以下选项正确的有（ ） B. 七名评委评分的众数为 91 A. 七名评委评分的极差为 13 C. 七名评委评分的 【答案】ABC 30% 分位数为 87 D. 该选手最终得分为 88 分 10. 如果实数 a  b  0 ，则下列不等式中成立的为（ 1 3 A. a  b a 1 C. b 1 1  B. a  b a 1 3 ） 1 1  D. a b 【答案】BC f  x 11. 已知函数 的定义域是 则以下说法一定正确的是（ A. f  2   f  5 C. f  x  1,5 ，且 f  x  在区间  1, 2  上是增函数，在区间  2,5 上是减函数， ） 在定义域上有最大值，最大值是 f  2 B. f  1  f  5  D. f  0 与 f  3 的大小不确定 【答案】AD 12. 函数 A. 函数 f  x   ln f  x 1 x 1  x ，则下列关于函数 f  x  的说法正确的是（ ） 在区间  1,1 上 是 减函数 C. 图像关于原点对称 B. 值域为  �, � D. 有反函数 【答案】BCD 第 II 卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知函数 (1). 【答案】 14. 不等式 【答案】 15. f  x  1  x 2  2 x  3 3 log3 x  (2). ，则 f  1  __________． f  x   ____________ x2  2 1  x  1 的解集为__________． 2  1,3 2013 年华人数学家张益康证明了李生素数猜想的一个弱化形式，李生素猜想是希尔伯特在二十世纪 初提出的 23 个数学问题之一．可以这样描述，存在无穷多个素数 p ，使得 p2 是素数，称素数对  p, p  2  为孪生素数．如果在不超过 20 的素数中，随机选收两个不同的数，则选取的两个数能够组成孪 生素数的概率是__________． 1 【答案】 7 16. 已知 x  0 ， y  0 ，满足 x  2y  2 1  6 ，存在实数 m，对于任意 x，y，使得 m �x  2 y 恒成 x y 立，则 m 的最大值为____________. 【答案】2 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合  （1）当 a  1 时，求 （2）若  M  x x 2   2a  1 x  a 2  a  0 , N   x y  lg  x  1  x �M 【答案】（1） 是 M U  CR N  x �N a 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． M U  CR N    �, 2  ；（2） a �1 ． r r r a  7,5 , b   3, 4 , c   1, 2      18. 平面内三个向量 r uur uu r （1）求 a  2b  3c （2）求满足 r r r a  mb  nc r r 的实数 m, n r r （3）若  k a  c  / /  b  c  ，求实数 k 【答案】（1） 53 ；（2） m 9 43 5 ,n  k  10 10 ；（3） 17 ． 19. 与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全 知识竞赛．要求每支代表队 3 人，在必答题环节规定每人回答一个问题，答对得 1 分，答错得 0 分、在竞赛 3 中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 4 ，乙队三个人回答问题正 1 2 3 , , 确的概率分别为 2 3 5 ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响， （1）求甲队至少得 1 分的概率； （2）求甲队总得分为 2 分且乙队总得分为 1 分 概率． 的 81 63 【答案】（1） 64 ；（2） 640 ． 20. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全 部介于 50 至 100 之间，将数据按照  50, 60  ，  60, 70  ，  70,80  ，  80,90  ，  90,100 的分组作出频率 分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中 a 的值 （2）若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分 的 概率： （3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分 【答案】（1） a  0.020 ；（2） 0.3 ；（3） 75 ． 21. 为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费 用于扩大生产，预计使用该设备每年收入为 100 100 万元成本购买了一套新设备 8 万元，第一年该设备的各种消耗成本为 万元，且从第二 年开始每年比上一年消耗成本增加 8 万元.（总利润  总收入  总成本） （1）求该设备使用 8 年的总利润； （2）求该设备使用 n 年的总利润 y （万元）与使用年数 n  n �N *  的函数关系式： （3）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值． 【答案】（1） 412 万元；（2） 最大，最大利润为 56 y  4n 2  96n  100, n �N * ；（3）这套设备使用 5 年可使年平均利润 万元． 2 x 1  3 f x  x , x � 0, � 22. 已知函数   2 1 f  x （1）判断并用定义证明函数 在  0, � 上的单调性：  m2 , m2 （2）定