绝密★启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A． M  {x 4  x  2}，N  {x x 2  x  6  0 ，则 M I N = {x 4  x  3 2．设复数 z 满足 A．  log a  0.22 abc {x 4  x  2 C． {x 2  x  2 D． {x 2  x  3 D． x 2  ( y +1) 2  1 ，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 ( x +1) 2  y 2  1 3．已知 A． z  i =1 B． ，， b2  B． ( x  1) 2  y 2  1 c0.2  0.2 B． C． x 2  ( y  1) 2  1 0.3 acb ，则 C． cab D． bca 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 5 1 （ 2 2 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽 喉至肚脐的长度之比也是 5 1 2 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子 下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm sinx  x 5．函数 f(x)= cosx  x 2 在 [ , ] 的图像大致为 A． B． C． D． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻 “——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 5 A． 16 11 B． 32 7．已知非零向量 a，b 满足 π A． 6 | a | 2 | b | π B． 3 21 C． 32 ，且 (a  b )  b，则 a 与 b 的夹角为 2π C． 3 1 8．如图是求 2 1 2 11 D． 16 1 的程序框图，图中空白框中应填入 2 5π D． 6 1 A．A= 2  A 9．记 Sn B．A= 为等差数列 {an } 1 C．A= 1  2A S 4  0，a5  5 an  10 n B．  3 10．已知椭圆 C 的焦点为 F1(  1, 0)，(F2 1,)0 D．A= 1 1 2A ，则 C． S n  2n  8n 2 D． Sn  1 2 n  2n 2 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 | AF2 | 2 | F2 B | ， ，则 C 的方程为 x2  y2  1 A． 2 11．关于函数 1 A 的前 n 项和．已知 A． an  2 n  5 | AB || BF1 | 2 x2 y 2  1 B． 3 2 f ( x)  sin | x |  | sin  x | x2 y 2  1 C． 4 3 x2 y 2  1 D． 5 4 有下述四个结论：  ②f(x)在区间（ 2 ，  ）单调递增 ①f(x)是偶函数 ③f(x)在 [ , ] 有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为 A． 8 6 B． 4 6  C． 2 6 D． 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y  3( x 2  x )e x 在点 (0， 0) 处的切线方程为____________． 1 a1  ，a42  a6 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 ，则 S5=____________． 3 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据 前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜 的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． x2 y 2   1(a  0, b  0) 16．已知双曲线 C： a 2 b 2 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线 r uuur uuu r uuur uuuu F B � F B  0 ，则 C 的离心率为____________． F A  AB 2 分别交于 A，B 两点．若 1 ， 1 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分) 2 2 △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 (sin B  sin C )  sin A  sin B sin C ． （1）求 A； （2）若 2a  b  2c ，求 sinC． 18．（12 分） 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD–A1B1C1D1 的 底 面 是 菱 形 ， AA1=4 ， AB=2 ， ∠ BAD=60° ， E ， M ， N 分 别 是 BC，BB1，A1D 的中点． （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求二面角 A−MA1−N 的正弦值． 19．（12 分） 3 已知抛物线 C：y =3x 的焦点为 F，斜率为 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P． 2 （1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； uuur uuu r AP  3 PB （2）若 ，求|AB|． 20．（12 分） 已知函数 f ( x)  sin x  ln(1  x) ， f� ( x) 为 f ( x) 的导数．证明：  (1, ) ( x) 在区间 （1） f � 2 存在唯一极大值点； （2） f ( x) 有且仅有 2 个零点． 21．（12 分） 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、 乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； pi (i  0,1,L ,8) （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 为甲药比乙药更有效”的概率，则 a  P( X  1) (i)证明： (ii)求 p4 ， b  P( X  0) ， p4 ， p8  1 c  P ( X  1) { pi 1  pi } (i  0,1, 2,L ,7) ，并根据 p0  0 ， ．假设 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认 pi  api 1  bpi  cpi 1 (i  1, 2,L , 7)   0.5 ，   0.8 ，其中 ． 为等比数列； 的值解释这种试验方案的合理性． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） � 1 t2 x ， � � 1 t2 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 � （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的 �y  4t � 1 t2 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： 1 1 1   �a 2  b 2  c 2 （1） a b c ； （2） ( a  b)3  (b  c)3  (c  a )3 �24 ． 2  cos   3 sin   11  0 ． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学•参考答案 一、选择题 1．C　2．C　3．B　4．B　5．D　6．A　7．B　8．A　9．A　10．B　11．C　12．D　 二、填空题 121 14． 3 13．y=3x 15．0.18 16．2 三、解答题 17．解：（1）由已知得 由余弦定理得 sin 2 B  sin 2 C  sin 2 A  sin B sin C cos A  b 2  c 2  a 2  bc b2  c 2  a 2 1  2bc 2． 0� A  180� 因为 ，故由正弦定理得 ，所以 A  60� ．   � 2 sin A  sin 120  C  2sin C ， （2）由（1）知 B  120  C ，由题设及正弦定理得 6 即 2  3 1 2 co