§1.6　基本不等式及其应用 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b 同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大) 概念方法微思考 1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示　不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正 数的积无最大值． 2．函数 y＝x＋的最小值是 2 吗？ 提示　不是．因为函数 y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函数 y＝x＋无最小值． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 f (x)＝cos x＋，x∈的最小值等于 4.(　×　) (2)“x>0 且 y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　) (3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　) (4)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.(　×　) 题组二　教材改编 2．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案　C 解析　∵x>0，y>0，∴≥， 即 xy≤2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 3．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案　25 解析　设矩形的一边为 x m，面积为 y m2， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中 0<x<10， ∴y＝x(10－x)≤2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25. 题组三　易错自纠 4．“x>0”是“x＋≥2 成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　当 x>0 时，x＋≥2＝2. 因为 x，同号，所以若 x＋≥2，则 x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2 成立”的充要条件，故选 C. 5．若函数 f (x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　当 x>2 时，x－2>0，f (x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x－2＝(x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f (x)取得最小值时，x＝3，即 a＝3，故选 C. 6．若正数 x，y 满足 3x＋y＝5xy，则 4x＋3y 的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由 3x＋y＝5xy，得＝＋＝5， 所以 4x＋3y＝(4x＋3y)· ＝ ≥(4＋9＋2)＝5， 当且仅当＝，即 x＝，y＝1 时，“＝”成立， 故 4x＋3y 的最小值为 5.故选 D. 7．若实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________． 答案　2　 解析　实数 x，y 满足 x>y>0，且 log2x＋log2y＝1，则 xy＝2， 则＋≥2＝2，当且仅当＝，即 x＝2，y＝1 时取等号， 故＋的最小值是 2， 又 x>y>0，x－y>0， ＝＝＝≤＝，当且仅当 x－y＝，即 x＝＋1，y＝－1 时取等号， 故的最大值为. 利用基本不等式求最值 命题点 1　配凑法 例 1　(1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为________． 答案　 解析　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝时，取等号． (2)已知 x<，则 f (x)＝4x－2＋的最大值为________． 答案　1 解析　因为 x<，所以 5－4x>0， 则 f (x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，取等号． 故 f (x)＝4x－2＋的最大值为 1. (3)已知函数 f (x)＝(x<－1)，则(　　) A．f (x)有最小值 4 B．f (x)有最小值－4 C．f (x)有最大值 4 D．f (x)有最大值－4 答案　A 解析　f (x)＝＝ ＝－＝－ ＝－(x＋1)＋＋2. 因为 x<－1，所以 x＋1<0，－(x＋1)>0， 所以 f (x)≥2＋2＝4， 当且仅当－(x＋1)＝，即 x＝－2 时，等号成立． 故 f (x)有最小值 4. 命题点 2　常数代换法 例 2　若正数 m，n 满足 2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．3＋ C．2＋2 D．3 答案　A 解析　因为 2m＋n＝1， 则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋ ≥3＋2＝3＋2， 当且仅当 n＝m，即 m＝，n＝－1 时等号成立， 所以＋的最小值为 3＋2，故选 A. 命题点 3　消元法 例 3　已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________． 答案　6 解析　方法一　(换元消元法) 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0， 所以 x＋3y≥2， 所以 3xy≤2， 当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 方法二　(代入消元法) 由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝， 所以 x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当 3(1＋y)＝，即 y＝1，x＝3 时取等号， 所以 x＋3y 的最小值为 6. 思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数 “1”代换的方法；三是 消元法． 跟踪训练 1　(1)(2019·天津)设 x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________． 答案　 解析　＝ ＝＝2＋. ∵x>0，y>0 且 x＋2y＝4， ∴4≥2(当且仅当 x＝2，y＝1 时取等号)， ∴2xy≤4，∴≥， ∴2＋≥2＋＝. (2)(2020·天津模拟)已知 a>0，b>0，c>0，若点 P(a，b)在直线 x＋y＋c＝2 上，则＋的最小值为________． 答案　2＋2 解析　∵P(a，b)在 x＋y＋c＝2 上， ∴a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0， ＋＝＋＝＋－1， 设则 m＋n＝2， ＋＝＋＝× ＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当 m2＝2n2，即 c＝2－2 时，等号成立， ∴＋－1≥3＋2－1＝2＋2， 即＋的最小值为 2＋2. 基本不等式的综合应用 命题点 1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 4　设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1＝d＝1，则的最小值是________． 答案　 解析　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝， 所以＝＝ ≥＝， 当且仅当 n＝4 时取等号，所以的最小值是. 命题点 2　求参数值或取值范围 例 5　已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋＋≥a＋2＋1， 当且仅当 y＝x 时，等号成立， ∴a＋2＋1≥9， ∴≥2 或≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数 a 的最小值为 4，故选 B. 思维升华　求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范 围． 跟踪训练 2　(1)已知函数 f (x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为 2，则的最小值是 (　　) A．10 B．9 C．8 D．3 答案　B 解析　 由函数 f (x)＝ax2＋bx，得 f′(x)＝2ax＋b， 由函数 f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为 2， 所以 f′(1)＝2a＋b＝2， 所以＝＋＝(2a＋b) ＝≥ ＝(10＋8)＝9， 当且仅当＝，即 a＝，b＝时等号成立， 所以的最小值为 9，故选 B. (2)在△ABC 中，A＝，△ABC 的面积为 2，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由△ABC 的面积为 2， 所以 S＝bcsin A＝bcsin ＝2，得 bc＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 ＋＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋－ ≥2－＝2－＝， 当且仅当 b＝2，c＝4 时，等号成立，故选 C. 基本不等式的实际应用 例 6　(1)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是______． 答案　30 解析　一年的总运费为 6×＝(万元)． 一年的总存储费用为 4x 万元． 总运费与总存储费用的和为万元． 因为＋4x≥2＝240， 当且仅当＝4x，即 x＝30 时取得等号， 所以当 x＝30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小． (2)某人准备在一块占地面积为 1 800 m2 的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 m 的小 路(如图所示)，大棚总占地面积为 S m2，其中 a∶b＝1∶2，则 S 的最大值为________． 答案　1 568 解析　由题意可得 xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3， 则 y＝a＋b＋3＝3a＋3， 所以 S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a ＝(3x－8)＝1 808－3x－y ＝1 808－3x－× ＝1 808－≤1 808－2 ＝1 808－240＝1 568， 当且仅当 3x＝，即 x＝40，y＝45 时等号成立，S 取得最大值， 所以当