专题 11 构造形求最值类问题 【方法点拨】 一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义： (1)表示两点间的距离或向量的模； (2)k＝表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率； (3)Ax＋By 与直线 Ax＋By＋C＝0 的截距有关； (4)P(cosθ，sinθ)表示单位圆 x2＋y2＝1 上的任意一点； (5)a2±ab＋b2 与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些 特殊的函数. 【典型题示例】 例 1 (2021· 江 苏 南 京 六 校 联 合 体 期 初 ) （ 多 选 题 ） 已 知 x2  2 y2  2 ln 2  6  0 ，记 M＝ 16 A．M 的最小值为 5 ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2 4 C．M 的最小值为 5 D．当 M 最小时， ，则（ x2  14 5 x2  12 5 B．当 M 最小时， ln x1  x1  y1  2  0 ， ） 【答案】AB 【分析】看到所求式子的结构特征，立即联想“距离公式”，运用“形”知 M 的几何意义，为 函数 图象上的点到直线 再使用导数知识，转化为与直线 【解析】由 x  2 y  2 ln 2  6  0 x  2 y  2 ln 2  6  0 ，得 上的点的距离的最小值的平方， 平行的切线间距离. ， 的 最小 值可 转化 为函 数 x  2 y  2 ln 2  6  0 上的点的距离的最小值的平方， 图象 上的 点到 直线 由 得 ， 因为与直线 x  2 y  2 ln 2  6  0 平行的直线斜率为 所以 ，解得 所以 d 到直线 ，则切点坐标为 x  2 y  2 ln 2  6  0 2  2 ln 2  2 ln 2  6 5 即 函数  ， ， 上的距离 4 5 5 ， 上的 点到 直线 x  2 y  2ln 2  6  0 上的 点的 距离 最小 值为 4 5 5 ， 16 的最小值为 5 ， 所以 又过 且与 x  2 y  2 ln 2  6  0 垂直的直线为 ，即 ， �x  2 y  2 ln 2  6  0 联立 � 2 x  y  ln 2  4  0 ，解得 � 即当 最小时， x ， 14 5 ． 故选：AB． 例2 已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2 对任意 m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数 λ 的取值范围为________． 【答案】[1，＋∞) 【分析】由于条件“(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2”中平方和的特征，可联想到两点(m，m＋λ)， (n，lnn)的距离公式，而点(m，m＋λ)，(n，lnn)分别是直线 y＝x＋λ 和曲线 f(x)＝lnx 上 动点，故可转化为直线 y＝x＋λ 和曲线 f(x)＝lnx 上点之间的距离大于等于. 【解析】条件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2 对任意 m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“直 线 y＝x＋λ 以及曲线 f(x)＝lnx 上点之间的距离恒大于等于”． 如图，当与直线 y＝x＋λ 平行的直线与曲线 f(x)＝lnx 相切时，两平行线间的距离最短， f′(x)＝＝1，故切点 A(1,0)，此切点到直线 y＝x＋λ 的距离为≥，解得 λ≥1 或 λ≤－3(舍去， 此时直线与曲线相交)． 已知对于一切 x，y∈R，不等式 例3 a 的取值范围是 答案： x2  81 18  2 xy  2  y 2  a 0 2 恒成立，则实数 x x ． ( - �, 6] 9 ( x  y )2  (  2  y 2 ) 2 �a  2 解析： x 9 ( x, ) 左边的几何意义是动点 x 与动点 ( y, - 2 - y 2 ) 的距离平方. （ 2020· 衡 水 中 学 上 学 期 期 中 ） 设 D  例 4 e �2.71828 � � � ，则 答案： D ( x  a ) 2  (e x  2 a ) 2  a  2 ， 其 中 的最小值是__________. 2 1 解析: D  ( x  a )2  (e x  2 a )2  a  2 的几何意义是：曲线 y  e x 上点 P  x, e  与曲 x   线 y  2 x 上点 Q a, 2 a 的距离与 Q 点到 y 轴的距离和再加 2，而 Q 点到 y 轴的 距离利用抛物线的定义，可转化为 距离减去 1，故所求即为 F 到曲线 Q 点到抛物线（第一象限部分）的焦点 F（1,0）的 y  ex 上点距离的最小值再加 1，利用导数知识易求 得. 【巩固训练】 2 1.已知 a �R ，若实数 x 、 y 满足 y   x  3ln x ，则  a  x    a  2  y  的最小值为 2 （ 2 ） B． 2 2 A． 3 2 D． 18 C． 8 2.已知 a－ln b＝0，c－d＝1，则(a－c)2＋(b－d)2 的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D．2 3 1 f ( x)   x  3.已知函数 4 x ，若直线 l1 ， l2 是函数 y  f ( x) 图象的两条平行的切线，则 l l 直线 1 ， 2 之间的距离的最大值是_____． 4.设点 P 在函数 f  x  1 x e 2 的图象上，点 Q 在函数 g  x   ln  2 x  的图象上，则线段 PQ 长度的最小值为_________． 5. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 y＝(m＞0)在 x＝1 处的切线为 l，那么点(2，－1)到 直线 l 的距离的最大值为________． 6. 若 实 数 a 、 (a−c )2 +(b−d )2 b 、 c 、 的最小值为 d 满 足 a2 −2 ln a 3 c−4 = =1 ， 则 b d . ln x, x  1 � � f x  1 1 7.已知函数   � ，且 ，则 的最小值是_ x  , x �1 ，若 � f  m  f  n �2 2 nm mn ____. 【答案或提示】 1.【答案】C 【解析】点  a  x 上点 2  x, y  在曲线 y   x 2  3ln x 上，点  a, a  2  在曲线 y  x  2 上，   a  2  y  的几何意义就是曲线 y   x 2  3ln x 上的点  x, y  到曲线 y  x  2 2  a, a  2  考查曲线 Q y�  的距离最小值的平方，如下图所示： y  3ln x  x 2  x  0  平行于直线 y  x  2 的切线， 3 3 3  2x  y�   2x  1 ，令 ，解得 x  1 或 2 （舍去）， x x 所以，切点为  1, 1 ，该切点  1, 1 到直线 y  x  2 的距离 的曲线 y   x 2  3ln x 上的点与直线  y  x2 故  a  x    a  2  y  的最小值为 2 2 2 2  2 11 2 2 2 2 就是所要求 上的点之间的最小距离，  8 ，故选：C． 2.【答案】C 【解析】设(b，a)是曲线 C：y＝ln x 上的点，(d，c)是直线 l：y＝x＋1 上的点，则(a－c)2＋ (b－d)2 可看成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方．对函数 y＝ln x 求导得 y′＝，令 y′＝1，得 x＝1，则 y＝0，所以曲线 C 上到直线 y＝x＋1 的距离最小的点为(1,0)，该点到直 线 y＝x＋1 的距离为＝.因此(a－c)2＋(b－d)2 的最小值为()2＝2.故选 C. 3.【答案】2 4.【答案】 2  1  ln 2  【解析】由题，因为 f  x  1 x e 2 与 g  x   ln  2 x  互为反函数，则图象关于 y  x 对称， 1 x e x 2 设点 为 ，则到直线 的距离为 d  ， x , y   y  x 2 P 设 h  x  所以当 即 h  x 1 x 1 e x h� x   ex 1  � ，则 ，令 g ( x) =0 ，即 x  ln 2 ， 2 2 x � �, ln 2  时， h�  x  0 ，即 h  x 单调递减；当 x � ln 2, � 时， h�  x  0 单调递增， 所以 h  x  min  h  ln 2   1  ln 2 ，则 d min  1  ln 2 2 ，所以 PQ 的最小值为 2d min  2  1  ln 2  ， 线段 PQ 长度的最小值为 5.【答案】 2  1  ln 2  ． 2 2 ( 1−ln 2 )2 6.【答案】 5 【分析】由平方结构特点产生了结构联想：类似两点间的距离公式， A ( a,b ) ,B ( c ,d ) a2 −2 ln a 3 c−4 = =1 ,  b  a 2  2 ln a, d  3c  4 【解析】∵ b d ∴ A ( a ,b ) ,B ( c ,d ) 分别为两个函数 y  x 2  2 ln x, y  3x  4 的图象上任意一点. ， 2 2 ( a 2−1 ) b¿ =2 a− = =3,∵ a>0, ∴a=2 ， 所 以 A ( 2,4−2 ln2 ) ， 所 以 过 a a A ( 2,4−2 ln2 ) 即 l1 点且斜率为 3 的切线方程为： :3x-y-2-2ln2=0, 两直线的距离即为 l2 y−( 4−2 ln2 )=3 ( x−2 ) ， :y=3x-4 A ( a ,b ) ,B ( c ,d ) 之距的最小值，即为 2−2 ln 2 √10 ，但是所求为距 2 ( 1−ln 2 )2 . 离的平