绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本 试卷上无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． �1 � M   x 0  x  4 , N  �x �x �5� 1．设集合 ，则 �3 M �N  （ ） � 1� �1 � x 0 x� � �x �x  4 � C．  x 4 �x  5 B． 3 � �3 A． �   D． x 0  x �5 2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理 得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6% B．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间 3．已知 (1  i) 2 z  3  2i 3 1  i A． 2 ，则 z  （ 3 1  i B． 2 ） 3  i C． 2 3  i D． 2 4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记 录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 的满足 录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ A．1.5 B．1.2 C．0.8 ）（ ．已知某同学视力的五分记 10 �1.259 ） D．0.6 5．已知 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 （ 10 L  5  lgV �F1PF2  60� , PF1  3 PF2 ，则 C 的离心率为 ） 7 A． 2 13 B． 2 C． 7 D． 13 6．在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三棱锥 多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ） A  EFG 后，所得 A． B． 7．等比数列 C． D．  an  的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，设甲： q  0 ，乙：  Sn  是递增数列，则（ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 C．甲是乙的充要条件 ） B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量 法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在 同一水平面上的投影 A� , B� , C� 满足 Т�� A C B� 45 BB� CC � 与 ， ТA� B�� C 60 的 差 为 100 ； 由 B 点 测 得 A 点 的 仰 角 为 45� ，则 A，C 两点到水平面 3 �1.732 ）（ ） AA�  CC � 约为（ A．346 B．373 C．446 D．473  � πcos �  �� 0, � , tan 2  9．若 2  sin  ，则 tan   （ ） � 2� 15 A． 15 5 B． 5 5 C． 3 ．由 C 点测得 B 点的仰角为 15 D． 3 10．将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ ） A��� BC 15� ， 的高度差 1 A． 3 2 B． 5 2 C． 3 4 D． 5 11 ． 已 如 A ， B ， C 是 半 径 为 1 的 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点 ， 且 O  ABC 的体积为（ 2 3 A． 12 B． 12 12 ． 设 函 数 f  x AC  BC , AC  BC  1 ，则三棱锥 ） 2 C． 4 3 D． 4 的定义域为 R， f  x  1 为奇函数， f  x  2 为偶函数，当 x � 1,2 时 ， �9 � f � � f ( x )  ax  b ．若 f  0   f  3  6 ，则 �2 � （ ） 2 9 A． 4  3 B． 2  7 C． 4 5 D． 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．曲线 2x 1 x  2 在点  1, 3 处的切线方程为__________． y 14．已知向量 a   3,1 , b   1, 0  , c  a  kb ．若 a  c ，则 k  ________． x2 y2  1 15 ． 已 知 F1 , F2 为 椭 圆 C ： 16 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 4 PQ  F1 F2 ，则四边形 16 ． 已 知 函 数 PF1QF2 的面积为________． f  x   2 cos( x   ) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件 � � � � � 7 � �4 �  f ( x)  f � � � �f ( x)  f � � � � 0 的最小正整数 x 为________． � 4 � �3 � � � � � 三、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用 两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? n (ad  bc )2 K  附： (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) 2 P  K 2 �k  0.050 k 3.841 0.01 0 6.63 5 0.001 10.828 18．（12 分） 已知数列  an  的各项均为正数，记 Sn 为  an  的前 n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外 一个成立． ① 数列  an  是等差数列：②数列   S n 是等差数列；③ a  3a ． 2 1 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19．（12 分） 已知直三棱柱 D 为棱 A1B1 ABC  A1B1C1 上的点， 中，侧面 BF  A1 B1 AA1B1B CC1 为正方形， AB  BC  2 ，E，F 分别为 AC 和 的中点， ． （1）证明： BF  DE ； （2）当 B1 D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小? 20．（12 分） 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O．焦点在 x 轴上，直线 l： M  2,0  交 C 于 P，Q 两点，且 OP  OQ ．已知点 ，且 e M 与 l 相切． （1）求 C， （2）设 x 1 eM A1 , A2 , A3 的方程； 是 C 上的三个点，直线 A1 A2 ， A1 A3 均与 e M 相切．判断直线 A2 A3 与 e M 的位置关系， 并说明理由． 21．（12 分） 已知 a  0 且 a �1 ，函数 f ( x)  xa ( x  0) ． ax f  x （1）当 a  2 时，求 的单调区间； （2）若曲线 y  f  x 与直线 y  1 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为   2 2 cos  ． （1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； uuu r 1,0   AP  （2）设点 A 的直角坐标为 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 程，并判断 C 与 C1 uuuu r 2 AM ，写出 P 的轨迹 C1 的参数方 是否有公共点． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f ( x)  x  2 , g ( x)  2 x  3  2 x  1 （1）画出 （2）若 y  f  x 和 y  g  x f  x  a  �g  x  ． 的图像； ，求 a 的取值范围． 扫码关注学科网数学服务号，第一时间获取 2021 年高考真题、答案、解析 及更多优质数学教学资源