5 月 22 日 正余弦定理及在三角形中的应用 …………………1 用………… ……………………………… 01 5 月 23 日 平面向量与复数 …………………28 5 月 24 日 一元二次不等式及基本不等式 ………………………53 5 月 25 日 立体几何…………………………73 5 月 26 日 立体几何与空间向量……………………103 5 月 27 日 直线与圆 ……………………………………………………140 5 月 28 日 椭圆………………………………………………………155 时间：5 月 22 日 今日心情： 核心考点解读—— 正余弦定理及在三角形中的应用 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正 弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关； 有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵 活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等． 1.正、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a ＝b ＋c2－2bccos A； 2 公式 ＝＝＝2R 2 b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 常见 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 变形 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； cos A＝； cos B＝； [来源:学|科|网 Z|X|X|K] cos C＝ (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r. 3.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： 学#￥科网 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin bsin A a <a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 4.判定三角形形状的两种常用途径 (1)化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关 系进行判断; (2)化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关 系进行判断; 一、利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 已知两角及其中一角 一般解法 ① 由 A＋B＋C＝180°，求出 C； 的对边，如 A，B，a ② 根据正弦定理，得＝及＝，求出边 b，c ① 根据正弦定理，经讨论求 B； 已知两边及其中一边 所 对 的 角 ， 如 a，b，A ② 求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C； ③ 再根据正弦定理＝，求出边 c. [提醒]　也可以根据余弦定理，列出以边 c 为元的一元二次方程 c2 －(2bcos A)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边 c，然 后应用正弦定理或余弦定理，求出 B，C 二、利用余弦定理可解决两类问题 ① 根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c； 已知两边和它 们的夹角，如 a，b，C ② 根据 cos A＝，求出 A； ③ 根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B. 求出第三边后， 也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正 弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)， 应先求较小边所对的角，它必是锐角 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由 A [来源:学科网 ZXXK] 已知三边 ＋B＋C＝180°，求出第三个角； 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是 先求较小边所对的角 2 .1、【2020 年高考全国 III 卷理数】在△ABC 中，cosC= 3 ，AC=4，BC=3，则 cosB= 1 A． 9 1 B． 3 2 D． 3 1 C． 2 【答案】A 【解析】 Q 在 VABC 根据余弦定理： 中， cos C  2 ， ， ， 3 AC  4 BC  3 AB 2  AC 2  BC 2  2 AC � BC � cos C ， 2 AB 2  42  32  2 �4 �3 � 3， 可得 由Q 故 AB 2  9 cos B  cos B  ，即 AB  3 ， AB 2  BC 2  AC 2 9  9  16 1   2 AB �‫״‬ BC 2 3 3 9， 1 9. 故选：A． 2、【2018 年高考全国Ⅱ理数】在 △ ABC 中， cos C 5  ， ， ，则 BC  1 AC  5 2 5 AB  A． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5 【答案】A 2 �5� 3 2 C  1  2 �� 1   , � 【解析】因为 cosC  2cos � � 2 5 �5 � � 3� AB 2  BC 2  AC 2  2 BC � ACcosC  1  25  2 �� 1 5 ��  � 32，则AB  4 2 所以 ，故选 A. � 5� 3、【2018 年高考全国Ⅲ理数】 △ ABC 的内角 A ，， B C a b c 的对边分别为 ， ， ，若 △ ABC 的面积为 a 2  b2  c 2 ，则 C  4 A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 【答案】C 【解析】由题可知 S△ ABC  1 a 2  b2  c2 absinC  ，所以 a 2  b 2  c 2  2absinC ， 2 4 π C C � 0,π   由余弦定理 a  b  c  2abcosC ，得 sinC  cosC ，因为 ，所以 4 ，故选 C. 2 2 2 4、【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________. 1 【答案】 4  【解析】Q AB  AC ， AB  由勾股定理得 BC  3 ， AC  1 ， AB 2  AC 2  2 ， AB  AD  3 同理得  BF  BD  6 ， BD  6 ， AE  AD  在 △ ACE 中， AC  1 ， 3 ， �CAE  30o ， 3 AE cos 30  1  3  2 �� 1 3 � 1， 由余弦定理得 CE  AC  AE  2 AC � 2 2  CF  CE  1 2 ， BF  在 VBCF 中， BC  2 ， 由余弦定理得 o 2 cos �FCB  6 ， CF  1 ， CF 2  BC 2  BF 2 1  4  6 1   2CF �‫״‬ BC 2 1 2 4. 1 故答案为： 4 .  5、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 b  6, a  2c, B  π ，则 3 △ ABC 的面积为_________． 【答案】 6 3 【解析】由余弦定理得 解得 b  a  c  2ac cos B 2 2 2 c  2 3, c  2 3 （舍去）， 1 1 1 2 ，所以 (2c)  c  2 �2c �c �  6 ，即 2 2 3 所以 a  2c  4 3 ， S△ ABC  2 ac sin B  2 �4 3 �2 3 � 2  6 3. 6、【2020 年高考全国 II 卷理数】 △ ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC． 2 c 2  12 ， （1）求 A； （2）若 BC=3，求 △ ABC 周长的最大值． 【解析】（1）由正弦定理和已知条件得 由余弦定理得 由①，②得 BC 2  AC 2  AB 2  2 AC � AB cos A cos A   因为 0π A  BC 2  AC 2  AB 2  AC � AB ，所以 ，① ，② 1 2. A 2π 3 . AC AB BC   2 3 （2）由正弦定理及（1）得 sin B sin C sin A ， AB  2 3 sin(π) A3cos B  从而 AC  2 3 sin B ， 3 sin B B. π BC  AC  AB  3  3 sin B  3cos B  3  2 3 sin( B  ) 故 3 . 又 0B π π B 3 ，所以当 6 时， △ ABC 周长取得最大值 3  2 3 . 7、【2020 年高考江苏】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a  3, c  2, B  45�． （1）求 sin C 的值； 4 （2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos �ADC   ，求 tan ∠ DAC 的值． 5 【解析】（1）在 △ ABC 中，因为 a  3, c  2, B  45�， 2 2 2 2 由余弦定理 b  a  c  2ac cos B ，得 b  9  2  2 �3 � 2 cos 45� 5 ， 所以 b  5 . 在 △ ABC 中，由正弦定理 得 b c  ， sin B sin C 5 2 = ， sin 45� sinC 所以 sin C  5 . 5 4 （2）在 △ ADC 中，因为 cos �ADC   ,所以 为钝角， �ADC 5 而 �ADC  �C  �CAD  180�,所以 �C 为锐角. 2 故 cos C  1  sin C  2 5 sin C 1 , 则 tan C   . cos C 2 5 4 3 sin �ADC 3 2  . 因为 cos